Category: Երկրաչափություն 9

Տրված են A(0; −1), B(0; 1) և C(1; 2) կետերը․

1) Գտնել AB վեկտորի կոորդինատները:

(0;2)

2) Գտնել AC վեկտորի երկարությունը:

V10

3) Գտնել B և C կետերի հեռավորությունը:

V2

4) Գտնել AB հատվածի միջնակետի կոորդինատները:

(0;0)

5) Գտնել AC և BC վեկտորների սկալյար արտադրյալը:

4

6) Կազմել B կենտրոնով այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է C կետով:

7) Կազմել A և C կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։

8) Ո՞ր քառորդին է պատկանում C կետը:

Առաջին:

1)Գտե՛ք |a| = 4, |b| = 3 երկարությամբ՝ վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե դրանց կազմած անկյունը 30° է:

360

2)45° անկյուն կազմող a և b վեկտորների սկալյար արտադրյալը 8 է, a = 2√2: Գտե՛ք |b|-ն:

4

3)Գտե՛ք a և b վեկտորների կազմած անկյունը, եթե |a| = 5, |b| = 4, a ^․ b = -10:

120

4)a և b վեկտորների կազմած անկյունը 90° է: Գտե՛ք a(a + b) -ն, եթե
|a| = 5:

25

5)a և b վեկտորները հակուղղված են: Գտեք 2a և 3b վեկտորների սկալյար արտադրյալը, եթե |a| = 6, |b| = 4 :

-144

6)Գտե՛ք a{3;-4} և b{2;6} վեկտորների սկալյար արտադրյալը:

-18

7)a{3;-4}, b{9; -3}, c{6;-2}, d{3;-2} վեկտորներից որո՞նք են ուղղահայաց p {2;6} վեկտորին:

b և c

8)Գտե՛ք x-ը, եթե a{x;2} և b{4;-2} վեկտորների սկալյար արտադրյալը 12 է:

4

1)ABCD զուգահեռագծի B անկյունը 135° է: Այդ անկյան գագաթից AD կողմին տարված BE բարձրությունը զուգահեռագծի կողմը բաժանում է AE = 6 սմ և ED = 10 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

48

2)Զուգահեռագծի բարձրությունները 5 դմ և 4 դմ են, իսկ պարագիծը՝ 54 դմ: Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը:

60

3)BC և AD հիմքերով ABCD սեղանի բարձրությունը 8 սմ է, AD հիմքը՝ 14 սմ: Գտեք սեղանի միջին գիծը, եթե S_BCD = 16 սմ²:

9

4)AH-ը ABC հավասարասրուն (AB = BC) եռանկյան BC կողմին տարված բարձրությունն է: Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե BH = 8 դմ, CH = 2 դմ:

30

5)AK-ն AB = BC կողմերով ABC եռանկյան A անկյան կիսորդն է: Գտեք AC-ն, եթե BK = 4 սմ, CK = 6 սմ:

15

6)AK-ն ABC եռանկյան A անկյան կիսորդն է: Գտե՛ք KC-ն, եթե AB = 12 սմ, BK ^. AC = 120 սմ²:

10

1)Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը` ա) մեծացվի 2 անգամ, բ) փոքրացվի 0,5 անգամ, գ) մեծացվի 0,2 անգամ:

կմեծացվի 4 անգամ, կմեծացվի 4 անգամ, 25 անգամ կփոքրանա

2)Գտե՛ք 36π սմ² մակերես ունեցող շրջանը եզերող շրջանագծի երկարությունը:

12π

3)Որքա՞ն է այն սեկտորի մակերեսը, որի շառավիղը 3 սմ է, իսկ աղեղի աստիճանային չափը` ա) 45°, բ) 36°, գ) 120°:

1,125π, 0,9π, 3π

4)Գտե՛ք 45°- ի աղեղով այն սեկտորի մակերեսը, որի շառավիղը 5√2 սմ է:

25π/4

5)240°- ի աղեղով սեկտորի մակերեսը 270π սմ² է: Գտե՛ք այդ սեկտորի շառավիղը:

√405

6)10π սմ² մակերեսով սեկտորի աղեղի աստիճանային չափը 36° է: Գտե՛ք սեկտորի շառավիղը:

10

7)Հաշվե՛ք 15π դմ երկարությամբ շրջանագծով եզերված շրջանի մակերեսը:

56,25π

8)Գտե՛ք այն զուգահեռագծի պարագիծը, որի կողմերը հավասար են 49π սմ² և 64π սմ² մակերեսներով շրջանների շառավիղներին:

30

9)Գտե՛ք շրջանաձև այն խաղահրապարակի տրամագիծը, որը հավասարամեծ է 17,72 մ կողմով քառակուսաձև խաղադաշտին:

20

R շառավղով շրջանի մակերեսը՝ S = πR²:

Շրջանի այն մասը, որը սահմանափակված է աղեղով և աղեղի ծայրակետերը շրջանի կենտրոնին միացնող երկու շառավիղներով, կոչվում է շրջանային սեկտոր կամ սեկտոր։

R շառավղով շրջանի ∝^o աղեղով սեկտորի մակերեսը՝ S = πR²/360 * ∝:

Առաջադրանքներ․

1)Օգտագործելով R շառավիղով շրջանի S մակերեսի բանաձևը` լրացրեք դատարկ վանդակները։ Օգտվեք π = 3, 14 արժեքից։

S$$	12,56	78,5	9	~0,256	49π$$	9258,26	9,42	6,25
R$$	2	5	~1,69	2/7$$	7	54,3	√3$$	~1,41

2)Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը`
ա) մեծացվի k անգամ,
R = kR
S = π(kR)² = πk²R² = k²S
կմեծանա k² անգամ

բ) փոքրացվի k անգամ։
R = R/k
S = π(R/k)² = πR² / k²
կփոքրանա k² անգամ

3)Քանի՞ անգամ կմեծանա շրջանի մակերեսը, եթե դրա շառավիղը մեծացվի 3 անգամ:
S = π(3R)² = 9πR²
Մակերեսը կմեծանա 9 անգամ։

4)Գտե՛ք 21 սմ շառավղով և 60° աղեղով սեկտորի մակերեսը:
S = (α / 360°) ^. πR²
R = 21 սմ
α = 60°
S = (60 / 360) ^. 3,14 ^. 21²
21² = 441
S = 1/6 ^. 3,14 ^. 441
S ≈ 230,79 սմ²

5)40° աղեղով սեկտորի մակերեսը 25 դմ² է: Գտեք սեկտորի շառավիղը:
S = (α / 360) × πR²
25 = (40 / 360) ^. 3,14 × R²
40 / 360 = 1/9
25 = (1/9) ^. 3,14 ^. R²
225 = 3,14R²
R² ≈ 71,66
R ≈ 8,46 դմ

6)10 սմ շառավիղով շրջանից կտրված է 60° աղեղով սեկտոր։ Գտեք շրջանի մնացած մասի մակերեսը։
S = πR²
R = 10
S = 3,14 ^. 100 = 314 սմ²
S = (60 / 360) ^. 314
S ≈ 52,33 սմ²
Մնացած մասը
314 − 52,33 = 261,67 սմ²

7)Կրկեսի հրապարակի շրջանագծի երկարությունը հավասար է 41 մ։ Գտեք հրապարակի տրամագիծը և մակերեսը։
L = πd
41 = 3,14d
d ≈ 13,06 մ
R = d / 2 ≈ 6,53 մ
S = πR²
S = 3,14 ^. 6,53²
S ≈ 133,9 մ²

R շառավղով շրջանագծի երկարությունը՝ C = 2πR։

R շառավղով շրջանագծի ∝ աղեղի երկարությունը՝

Առաջադրանքներ․

1)Օգտագործելով R շառավիղով շրջանագծի C երկարության բանաձևը, լրացրեք աղյուսակի դատարկ վանդակները։ Օգտվեք π = 3, 14 արժեքից։

2)Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանագծի երկարությունը, եթե շրջանագծի շառավիղը`
ա)մեծացվի երեք անգամ,
բ) փոքրացվի երկու անգամ,
գ) մեծացվի k անգամ,
դ) փոքրացվի k անգամ։
ա) կմեծանա 3 անգամ
բ) կփոքրանա 2 անգամ
գ) կմեծանա k անգամ
դ) կփոքրանա k անգամ

3)Ինչպե՞ս կփոխվի շրջանագծի շառավիղը, եթե շրջանագծի երկարությունը`
ա) մեծացվի k անգամ,
բ) փոքրացվի k անգամ։
ա) կմեծանա k անգամ
բ) կփոքրանա k անգամ

4)Որոշեք շրջանագծի շառավիղը, եթե շրջանագիծն իր տրամագծից 107 սմ–ով երկար է։
2R(π−1)=107
2R(2,14)=107
4,28R=107
R=25

5)Շոգեքարշն անցավ 1413 մ։ Գտեք շոգեքարշի անիվի տրամագիծը, եթե հայտնի է, որ այն կատարել է 300 պտույտ։
C=1413​/300=4,71 մ
C=πD
D=C/π​=4,71/3,14​=1,5 մ

6)4 սմ շառավիղ ունեցող շրջանային աղեղը, որի աստիճանային չափը 120° է, հավասար է մեկ այլ շրջանագծի երկարությանը։ Գտեք այդ շրջանագծի շառավիղը։
l=α​/360^∘⋅2πR
l=120/360​⋅2π⋅4
l=1/3​⋅8π
l=8π/3​
2πR₂​=8π​/3
2R₂ =8/3
R₂ =4/3

1)Գտե՛ք 13 սմ շառավղով շրջանագծի երկարությունը:

26π

2)Գտե՛ք 10π սմ երկարությամբ շրջանագծի շառավիղը:

5

3)Գտե՛ք 15 սմ շառավղով 36° աղեղի երկարությունը:

3π

4)Գտե՛ք 18 դմ շառավղով շրջանագծի 120° աղեղի երկարությունը:

12π

5)Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը, եթե դրա 45° աղեղի երկարությունը 19 սմ է:

76/π

Նկարում AB աղեղի երկարությունը 7π սմ է: Գտե՛ք ∝-ն, եթե OA = 36 սմ:

35

7)O կենտրոնով շրջանագծերից մեկի շառավիղը 9 սմ է, մյուսինը՝ 15 սմ: Գտե՛ք CD աղեղի երկարությունը, եթե AB աղեղի երկարությունը 5π սմ է:

3π

1)Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 100 է, իսկ հիմքը և սրունքը հարաբերում են, ինչպես 24:13 :
ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

240

բ) Գտնել եռանկյան փոքր կողմը:

26
գ) Գտնել եռանկյան մեծ բարձրությունը:

240/13

2)Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 8-ով փոքր է սրունքների գումարից, իսկ պարագիծը 72 է:
ա) Գտնել եռանկյան սրունքի երկարությունը:

20
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

192
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

192/36

3)Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը՝ 36 է, իսկ սրունքը հավասար է այն քառակուսու կողմին, որի պարագիծը 40 է:
ա) Գտնել եռանկյան սրունքը:

10

բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

48

գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

8/3

4)Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 6 է,
իսկ սրունքը՝ 12:
ա) Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան աստիճանային
չափը:

30

բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

12√3

գ) Գտնել եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

12

Բազմանկյան մակերեսը ներգծած շրջանագծի շառավղի միջոցով․

Շրջանագծին արտագծած բազմանկյան մակերեսը հավասար է դրա կիսապարագծի և ներգծած շրջանագծի շառավղի արտադրյալին։

Քառանկյան մակերեսը անկյունագծերի միջոցով․

Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը հավասար է դրա անկյունագծերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին։

Առաջադրանքներ․

1)Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի բարձրությունը 4 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 60 սմ²: Գտեք սեղանի սրունքը:
60=a+b/2*4
60=2(a+b)
a+b=30
a+b=2c
c=15

2)Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի սրունքը 12 դմ է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝ 5 դմ: Գտեք սեղանի մակերեսը։
p=a+b+2c/2
a+b=2c
p=2c+2c/2=2c
p=2*12=24
S=5*24=120

3)Շրջանագծին արտագծած ուղղանկյուն սեղանի կողմնային կողմերը 12 սմ և 16 սմ են: Գտե՛ք
սեղանի մակերեսը:
192

4)Ուռուցիկ քառանկյան 12 դմ և 18 դմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը 45° է: Գտե՛ք քառանկյան մակերեսը:
54√2

5)Զուգահեռագծի 7 սմ և 16 սմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը 30° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
0,5716*0,5=28

6)Գտեք սեղանի 6 սմ և 10 սմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը, եթե դրա մակերեսը 15√3 սմ է:
60

7)Ուղղանկյան մակերեսը 36 դմ է, անկյունագիծը՝ 12 դմ: Գտեք անկյունագծերի կազմած անկյունը:
30

8)Ուղղանկյան կողմերը 6 սմ և 8 սմ են: Գտե՛ք անկյունագծերի կազմած անկյան սինուսը:

24/25

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կից կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին՝ S = ab sina:

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի կից կողմերը 10 սմ և 14 սմ են, անկյուններից մեկը` 60°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
S=10*14*√3/2=140*√3/2=70√3

2)Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 սմ և 12 սմ են, անկյուններից մեկը՝ 150°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:
S=6*12*1/2=72*1/2=36

3)135√2 դմ² մակերեսով զուգահեռագծի կից կողմերը 15 դմ և 18 դմ են: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:

sin a=135√2/15*18=135√2/270=√2/2
a=45
180-45=135

4)Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 2 սմ-ով մեծ է մյուսից, իսկ դրանց կազմած անկյունը 60° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը, եթե դրա մակերեսը 24√3 սմ² է:
6 8

5)Գտեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է 12 սմ, իսկ անկյունը`60^o :
S=12²*sin60=144*√3/2=72√3

6)Գտեք շեղանկյան կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է 8√2 սմ², իսկ անկյունը` 45^o։
a²=S/sin a=8√2/sin 45
a²=8√2/√2/2=8√2*2/√2=16
a=4

7)322√2 սմ² մակերեսով շեղանկյան անկյուններից մեկը 45° է: Գտե՛ք շեղանկյան կողմը:

√644