Category: Երկրաչափություն 9

1)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 3 : Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը, եթե A₁B₁C₁ եռանկյան մակերեսը 16 սմ² է:

9*16=144

2)Նման եռանկյուններից մեկի մակերեսը 20 դմ² է, մյուսինը`5 դմ²: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:

20/5=4

4²=16

3)Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 24 սմ է, իսկ մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 6 սմ է: Գտեք երկրորդ եռանկյան մակերեսը, եթե առաջինի մակերեսը 160 սմ է:

24/6=4

4*4=16

160/16=10
4)Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 5 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտե՛ք դրանց մակերեսների հարաբերությունը:

5²=25

5)M-ը ABCD զուգահեռագծի BC կողմը բաժանվում է 1:2 հարաբերությամբ՝ հաշված B կետից: AM և BD հատվածները հատվում են K կետում: Գտե՛ք K կետի հեռավորությունը AD-ից, եթե K կետի հեռավորությունը BC-ից 5 սմ է։

6)BC = 6 սմ և AD = 18 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք AOD եռանկյան OM միջնագիծը, եթե BOC եռանկյան OK միջնագիծը 8 սմ է:

7)BC = 4 սմ և AD = 8 սմ հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում: M-ը և N–ը համապատասխանաբար AO և OC հատվածների միջնակետերն են: Գտե՛ք DM-ը, եթե BN = 3 սմ:

Երկու նման եռանկյունների պարագծերի հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին՝

Երկու նման եռանկյունների նմանակ կողմերին տարված միջնագծերի հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին՝

Երկու նման եռանկյունների հավասար անկյունների կիսորդների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին։

Երկու նման եռանկյունների նմանակ կողմերին տարված բարձրությունների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին։

Նման եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն:

Առաջադրանքներ․

1)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 4 : Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A₁B₁C₁ եռանկյան պարագիծը 26 դմ է:
26*4=104

2)Նման եռանկյուններից մեկի պարագիծը 28 սմ է, մյուսինը՝ 7 սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:
28:7=4

3)Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 32 սմ է, մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 8 սմ է: Գտե՛ք երկրորդ եռանկյան պարագիծը, եթե առաջինի պարագիծը 120 սմ է։
k=32:8=4
P₂=120:4=30

4)Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 6 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտե՛ք դրանց պարագծերի հարաբերությունը:
k=6

5)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁: BM-ը և B₁M₁-ը այդ եռանկյունների միջնագծերն են: Գտե՛ք B₁M₁-ը, եթե AB = 12 սմ, A₁B₁ = 4 սմ, BM = 9 սմ։
12:4=3
9:3=3

6)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B₁: AK-ն և A₁K₁-ը այդ եռանկյունների կիսորդներն են: Գտե՛ք BC-ն, եթե AK = 9 սմ, A₁K₁ = 3 սմ, B₁C₁ = 7 սմ:
9:3=3
7*3=21

7)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁: BH-ը և B₁H₁-ը այդ եռանկյունների բարձրություններն են: Գտե՛ք AC-ն, եթե BH =15 սմ, B₁H₁ = 6 սմ, A₁C₁ = 8 սմ։
15:6=2,5
2,5*8=20

1)Ապացուցեք, որ նկարում պատկերված եռանկյունները նման են։

AC/DF=AB/DE=BC/EF

2)ABCD զուգահեռագծի CD կողմի վրա նշված է E կետը: AE և BC ուղիղները հատվում են F կետում։ Գտեք`
ա) EF–ը և FC-ն, եթե DE = 8 uմ, EC = 4 սմ, BC = 7 սմ, AE = 10 սմ,

EF/AE=CE/DE=4/8=0.5

0.5*10=5

k=2

7/2=3.5
բ) DE–ն և EC-ն, եթե AB = 8 սմ, AD = 5 սմ, CF = 2 սմ:

x/8-x=2/5

5x=16-2x

7x=16

x=16/7

8-16/7=40/7

3)AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք`
ա) AB–ն, եթե OB = 4սմ, OD = 10 սմ, DC = 25 սմ,

10/4=2.5

25/2.5=10
բ) (AO)/(OC)-ն և (BO)/(OD) -ն եթե AB = a, DC = b

a/b

գ) AO-ն, եթե AB = 9,6 դմ, DC = 24 սմ, AC = 15 սմ:

x/15-x=96/24

4)ABC եռանկյան AB կողմը 15 սմ է, իսկ AC կողմը` 20 սմ։ AB կողմի վրա անջատված է AD = 8 սմ, իսկ AC կողմի վրա՝ AE = 6 սմ հատվածը։ Նման են, արդյոք, ABC և ADE եռանկյունները։

Ոչ

5)Նման են, արդյոք, երկու ուղղանկյուն եռանկյունները, եթե դրանցից մեկն ունի 40°–ի անկյուն, իսկ մյուսը`

ա) 50°–ին հավասար անկյուն,

այո

բ) 60°–ին հավասար անկյուն։

Ոչ

6)Նման են, արդյոք, ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե`
ա) AB = 3սմ, BC = 5սմ, CA = 7սմ, A₁B₁ = 4,5սմ, B₁C₁ = 7,5սմ, C₁A₁ = 10,5սմ

Այո
բ)AB = 1,7սմ, BC = 3սմ, CA = 4,2սմ, A₁B₁ = 34դմ, B₁C₁ = 60դմ, C₁A₁ = 84դմ:

Այո

Եռանկյունների նմանության առաջին հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երկու անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան երկու անկյուններին, ապա եռանկյունները նման են:  

Եթե ∢B=∢E և ∢C=∢F, ապա ΔABC∼ΔDEF

Եռանկյունների նմանության երկրորդ հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երկու կողմերին, իսկ այդ կողմերով կազմված անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունները նման են:

Եթե AB/DE=AC/DF և ∢A=∢D, ապա ΔABC∼ΔDEF

Եռանկյունների նմանության երրորդ հայտանիշը․

Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համեմատական են մյուս եռանկյան երեք կողմերին, ապա եռանկյունները նման են:

Եթե AB/DE=BC/EF=AC/DF, ապա ΔABC∼ΔDEF

Խնդիրներ լուծելիս, սկզբում պետք է համոզվել, որ տրված եռանկյունները նման են: Եթե եռանկյունների նմանությունը տրված չէ, ապա դա պետք է ապացուցել:

Առաջադրանքներ․

1)Նմա՞ն են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե AB = 3մ, BC = 4մ, AC = 6մ, A₁B₁ = 9մ, B₁C₁ = 12մ , A₁C₁ = 18մ:

Այո A1B1/AB=B1C1/BC=A1C1/AC

2)Նմա՞ն են երկու եռանկյուններ, եթե մեկի կողմերը հարաբերում են ինչպես 3:8:9, իսկ մյուսի կողմերը 24 սմ, 9 սմ, 27 սմ են:
Նման են
9/3=24/8=27/9

3)ABC և BCD եռանկյուններում AB = 36 սմ, BC = 18սմ, AC = 20 սմ, DC = 9սմ, DB = 10 սմ: Ապացուցեք, որ ΔABC ~ ΔBCD :
36/18=18/9=20/10

4)O գագաթով անկյան կողմերից մեկի վրա վերցված են A և B, իսկ մյուսի վրա C և D կետերը այնպես, որ AO = 4 սմ, BO = 7սմ, OC =12 սմ, OD = 21սմ: Նման են OAC և OBD եռանկյունները:
12/21=4/7

5)Ըստ նկարների տվյալների՝ գտեք x–ը և y–ը։

x=9
y=21

6)M-ը և N-ը ABC եռանկյան համապատասխանաբար AB և BC կողմերի միջնակետերն են: Ապացուցեք, որ ABC եռանկյունը նման է MBN եռանկյանը:

AB/MB=BC/NB
B ընդհանուր անկյուն

1)ABC և MNK եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 2, 5 : Գտեք MNK եռանկյան կողմերը, եթե ABC եռանկյան կողմերը 12 դմ, 8 դմ և 15 դմ են:․
4․8, 3․2, 6

2)Նմա՞ն են, արդյոք, ABC և DEF եռանկյունները, եթե <A = 106^օ, <B = 34^օ, <E = 106^օ, <F = 40^օ, AC = 4,4սմ, AB = 5,2սմ, BC = 7,6սմ, DE = 15,6սմ, DF = 22,8սմ, EF = 13,2սմ:
Այո
AB:ED=BC:DF=AC:EF

3)ABC և KMN նման եռանկյունների մեջ AB և KM, BC և MN կողմերը նմանակ են։ Գտեք KMN եռանկյան կողմերը, եթե AB = 4 սմ, BC = 5 սմ, CA = 7 սմ , KM/AB = 2,1։
KM=8,4սմ MN=10,5սմ KM=14,7սմ

4)KPF և EMT եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ KP/ME = PF/MT = KF/ET, <F = 20^օ, <E = 40^օ : Գտեք այդ եռանկյունների մյուս անկյունները։
<K=40
<P=120
<T=20
<M=120

5)Նման եռանկյունների երկու նմանակ կողմերն են 2 սմ և 5 սմ։ Առաջին եռանկյան մյուս երկու կողմերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք երկրորդ եռանկյան պարագիծը:
P=22,5

6)Նման ուղղանկյուն եռանկյունների երկու նմանակ կողմերը հարաբերում են, ինչպես 2 : 3: Նրանցից առաջինի էջերն են 3 սմ և 4 սմ։ Գտեք յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը։
S1=6սմ²
S2=13,5սմ²

1)Նմա՞ն են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե ∠A = A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C=∠C₁, AB = 12 սմ, BC = 8 սմ, AC = 18 սմ, A₁B₁= 6 սմ, B₁C₁ = 4 սմ, A₁C₁ = 9 սմ:

Այո

2)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, BC = 14 դմ, AC = 9 դմ, B₁C₁= 7 դմ: Գտե՛ք A₁C₁-ը:

9:2=4.5

3)ABC և KMN եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ AB/MN = BC/NK = AC/MK: ABC և MNK եռանկյունների ո՞ր անկյուններն են համապատասխանաբար հավասար:

<C=<K <A=<M <B=<N

4)ABC և A₁B₁C₁ նման եռանկյուններում AB = BC, A₁B₁ = B₁C₁ <BAC = 65^o : Գտե՛ք <A₁B₁C₁ –ը:

180-65-65=50

5)ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ <A = <A₁, BC = 15 սմ, B₁C₁ = 5 սմ: Գտե՛ք այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:

15:5=3

6)ABC և DEF եռանկյունները նման են։ <A = <D, <C = <F, EF = 14 սմ, DF = 20 սմ, BC = 21 սմ։ Գտեք AC–ն։

21:14=1.5

20*1.5=30

1)Հետևյալ հատվածներից որո՞նք են համեմատական a = 4 սմ և b = 6 սմ հատվածներին.
ա) c = 2 սմ, d = 3 սմ
բ) m = 6 սմ, n = 9 սմ
գ) l = 1 դմ, p = 1,8 դմ:

2)AB և CD հատվածները համեմատական են EF և MN հատվածներին: Գտեք EF-ը, եթե AB = 5 սմ, CD = 8 սմ, MN = 10 սմ:

6.25

3)Եռանկյան a և c կողմերը համեմատական են c և b կողմերին: Գտե՛ք եռանկյան պարագիծը, եթե a = 4 սմ, b = 9 սմ:

4/c=c/9

c²=4*9=36

P=6+4+9=19

4)ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե CD = 10 սմ, BC/CD = AC/OC:

P=60

5)CD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան պարագիծը, եթե BD = 20 սմ, AD = 15 սմ, AC = 21 սմ:

35+21+28=84

6)KP և MN հատվածները DO և AL հատվածներին համեմատական են։ Գտեք AL–ը, եթե KP = 8 դմ, MN = 40 սմ, OD = 1 մ:

50

1)

a{2;3}

b{-1/2;-2}

c{8;0}

d{1;-1}

e{0;-2}

f{-1;0}

2)

x=-3i+1/5j

-2i-3j

-i

3j

j

3)

x=5,y=-2

-3,7

-4, 0

0, 0

4)

a+b={5;7}

a+b={4;1}

a+b={1;1}

a+b={-1;0}

5)

a-b={3;2}

a-b={6;0}

a-b={-1;9}

a-b={-7;-2}

6)

{6;4}

{9;6}

{-3;-2}

{-9;-6}

7)

a{-2;-4}

b{2;0}

c{0;0}

d{2;3}

e{-2;3}

1)Գտե՛ք տրված վեկտորների կոորդինատները, եթե

ա) a =7i + 4j

a{7;4}

բ)b = -5i + 2j

b{-5;2}

գ)c = 6i

c{6;0}

դ) d = -4j

d{0;-4}

2)Գծե՛ք Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ և i , j կոորդինատային վեկտորներ։ Կառուցե՛ք a{2; 3}, b{- 1; 4}, c{3; — 2}, d{- 2; — 3} վեկտորները, որոնց սկզբնակետը O կետն է:

3)c վեկտորը վերածեք ըստ a և b վեկտորների:

c=3b+2a

c=-2b+a

4)a b c d վեկտորները վերածեք ըստ i և j կոորդինատային վեկտորների և գտե՛ք դրանց կոորդինատները:

a{3;4}

b{5;-3}

c{-4;-2}

d{-5;2}

1)Օգտվելով բազմանկյան կանոնից` պարզեցրեք արտահատությունը․

ա)(AB + BC — MC) + (MD — KD)

AK

բ) (CB + AC + BD) — (MK + KD)

AM

2)ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմը 5 սմ է: Գտե՛ք AC + CB վեկտորի մոդուլը:

3)C ուղիղ անկյունով ABC հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան էջը 7 դմ է: Գտե՛ք AC + CB վեկտորի մոդուլը:

4)Օգտվելով զուգահեռագծի կանոնից` կառուցեք նկարի a և b վեկտորների գումարը:

5)ABC եռանկյան մեջ AB = 6, BC = 8, <B = 90^o : Գտեք՝

ա)|BA| — |BC| և |BA — BC| 

բ)|AB| + |BC| և |AB + BC|

գ)|BA| + |BC| և |BA + BC|

դ)|AB| — |BC| և |AB — BC|