Category: Հանրահաշիվ 8

Անհավասարումների համակարգը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի անհավասարումներից: Այդ անհավասարումները միավորվում են ձևավոր փակագծով: Պետք է գտնել այդ անհավասարումների բոլոր ընդհանուր լուծումները: 

Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում համակարգի անհավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է ճիշտ անհավասարության, կոչվում են անհավասարությունների համակարգի լուծումներ: 

Գծային անհավասարումների համակարգը լուծելու համար, պետք է լուծել համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարումը և այնուհետև գտնել ստացված լուծումների բազմությունների ընդհանուր մասը (հատումը): Դա էլ հենց կլինի համակարգի բոլոր լուծումների բազմությունը:

Լուծել համակարգը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները:

Օրինակ․

Լուծենք հետևյալ համակարգը՝ 

{2x−1>3

{3x−2<11

1. Լուծելով առաջին անհավասարումը, ստանում ենք՝

2x>4

x>2

2. Լուծելով երկրորդ անհավասարումը, ստանում ենք՝

3x<13

x<13/3

3. Ստացված միջակայքերը նշենք թվային առանցքի վրա: Յուրաքանչյուրի համար ընտրենք իր նշումը:

4. Անհավասարումների համակարգի լուծումը թվային առանցքի վրա նշված երկու բազմությունների հատումն է:

Մեր դեպքում ստանում ենք այս պատասխանը՝ (2;13/3)

Առաջադրանքներ․
1)Կոորդինատային ուղղի վրա նշեք անհավասարումների համակարգի բոլոր լուծումները (եթե դրանք գոյություն ունեն)․

x€(3;+∞)

x€(1;+∞)

x€(-∞;2)

x€(-∞;-5)

x€(-7;-5)

x€(-5;0)

x€(4;+∞)

x€(-3;+∞)

x€(-∞;-1)

x€(-∞;-16)

Լուծեք անհավասարումը․

ա) x + 4 > 5x

x-5x<-4

x<1

(-∞;1)

բ) x — 2 < 3x

4x>2

x>-1

(-1;+∞)

գ) 2 + 1 < x

x<3

(-∞;3)

դ) 7x — 13 >9x

7x-9x<13

-2x<13

2x<-13

x<6.5

(-∞;6.5)

ե) 2x — x — 1 < 2

x<3

(-∞;3)

զ) 5x — 2x — 8x + x — 12x > 7 — 2x

-14x>7

x<-0.5

(-∞;-0.5)

է) 3 < 7x — 5 — 4x

-3x<-8

x>8/3

(8/3;+∞)

ը) 8 — 9x > x — 3 — 3x + 4x +15

-11x>4

x<4/-11

(-∞;4/-11)

թ) x — 2 < x

(-∞;+∞)

ժ) 6 — 3x > 1 — 3x

(-∞;+∞)

ի) x + 5 > x

(-∞;+∞)

լ) 12 + 4x < 3 — x + 5x
լուծում չկա

խ) x + 2 < x

2x<2

x>-2

(-2;+∞)

ծ) x — 5 > x

2x>5

x>5/2

(-5/2;+∞)

կ) 4 — 8x < — 8x + 4
լուծում չունի

հ) x — 3 + 2x < 4 + 3x — 1

1)2, 3, -5 թվերից ո՞րն է հետևյալ համախմբի լուծում.

ա)

2,3

բ)

3, -5

գ)

2,3

2)Լուծեք համախումբը.

ա)

3+3x-2<10-25x-3x
3x+25x+3x<10-3+2
31x<9
x<9/31
x∈(−∞;9/31)
8-2x-3>4x-7
-2x-4x>-7-8+3
-6x>-12
x<2
x∈(−∞;2)
Պատ․՝ x∈(−∞;2)

բ)

6y-2-1≥ 4-5y
6y+5y≥4+2+1
11y≥7
y≥7/11
y∈[7/11;+∞)
6y-6≤6y-6
y∈(-∞;+∞)
Պատ․՝ y∈(-∞;+∞)

գ)

3x+3>3x+3
Պատ․՝ x∈(-∞;+∞)

դ)

4-4x ≥ 4-4x
Պատ․՝ x∈(-∞;+∞)

ե)

6-3z-5z<-108+12+z
-3z-5z-z<-108+12-6
-9z<-102
z>102/9
z∈(102/9;+∞)
6z-18≥4z+3
6z-4z≥3+18
2z≥21
z≥21/2
z∈[21/2;+∞)
Պատ․՝z∈[21/2;+∞)

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

1)Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարման լուծում՝

4x-4>3x+3 (-1)
4x (-1)-4>3x (-1)+3
-8>0
Ոչ

72x-18<-13x (-10)
72 (-10) -18< -13 (-10)
Այո

2)Համարժե՞ք են արդյոք անհավասարումները՝

2x-1>6 և 6>2x-1
Ոչ

x<3 և x+2<5
Այո

3x-7>5 և -3x+7<-5
Այո

3)Լուծեք անհավասարումը`

2x+1<x
2x-x<-1
x<-1
x∈(-∞;-1)

7x-13>9x
7x-9x>13
-2x>13
x<-13/2
x∈(-∞;-13/2)

2x-x-1<2
x<3
x∈(-∞;3)

8-9x>x-3-3x+4x+15
-9x-x+3x-4x>-3+15-8
-11x>4
x<-4/11
x∈(-∞;-4/11)

4)Փակագծերում նշված թիվը հանդիսանո՞ւմ է արդյոք անհավասարման լուծում՝

2+12x<-x+3 (-2)
2+12(-2)<2+3
-22<5
Այո

5x-7>9+x (100)
500-7>9+100
493>109
Այո

5)Համարժե՞ք են արդյոք անհավասարումները՝

2x>4 և x<2
Ոչ

2x>5 և x-7>-2-x
Այո

2<7-x և 3x<5+2x
Այո

6)Լուծեք անհավասարումը`

x+4>5x
-4x>-4
x<1
x∈(-∞;1)

x-2<3x
-2x<2
x>-1
x∈(-1;+∞)

3<7x-5-4x
-3x<-8
x>8/3
x∈(8/3;+∞)

5x-2x-8x+x-12x>7-2x
-14x>7
x<-7/14
x<-1/2
x∈(-∞;-1/2)

1)Լուծեք անհավասարումը․

ա) 2x > 4
x>2

x∈(2+∞)

բ) 7x < — 14
x<-2

x∈(-∞ -2)

գ) — 5x < 100
x>-20

x∈(-20+∞)

դ) — 3x < 9
x>-3

x∈(-3+∞)

ե) — 2x > — 2
x<1

x∈(-∞+1)

զ) — 3x > — 6
x<2

x∈(-∞+2)

է) 3x < 2
x<2/3

x∈(-∞+2/3)

ը) — 2x < 11
x>-5,5

թ) — 5x > 1
x<-1/5

x∈(-∞-1/5)

ժ) — 17x > — 2
x<2/17

x∈(-∞+2/17)

ի) — 4x > — 2
x<0,5

x∈(-∞+0,5)

լ) 13x < 3
x<3/13

x∈(-∞+3/13)

2)Լուծեք անհավասարումը․

ա) x — 1 > 0
x>1

x∈(∞+1)

բ) 3 + x > 0
x>-3

x∈(-3+∞)

գ) x + 5 < 0
x<-5

x∈(-∞-5)

դ) x + 0, 5 < 0
x<-0,5

x∈(-∞+0,5)

ե) x — 1 1/3 < 0
x<1 1/3

x∈(-∞+1 1/3)

զ) x — 6 < 6
x<12

x∈(-∞+12)

է) x + 7 > 7
x>0

x∈(0+∞)

ը) 3 + x < — 6
x<-9

x∈(-∞-9)

թ) x — 2 > 0, 6
x>2,6

x∈(2,6+∞)

ժ) x — 3, 5 < 4
x<7,5

x∈(-∞+7,5)

ի) 7 + x > 0
x>-7

x∈(-7+∞)

լ) 4 + x > 2
x>-2

x∈(-2+∞)

խ) x — 11 < — 7
x<4

x∈(-∞+4)

ծ) x + 4 > 7
x>3

x∈(3+∞)

կ) x — 2 > 0, 2
x>2,2

x∈(2,2+∞)

հ) x + 10, 7 > 7, 9
x>-2,8

x∈(-2,8+∞)

ձ) 2, 1 + x < 7
x<4,9

x∈(-∞+4,9)

ղ) 5013 + x < 0 ,13

kx−b>0 կամ kx−b<0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում k≠0, անվանում են առաջին աստիճանի մեկ x անհայտով անհավասարումներ:

Օրինակ․

a−5>0 a>5 Պատասխան՝a∈(5;+∞)

−2y−100<0 −2y<100|:(−2) (անհավասարության նշանը փոխվում է) y>100:(−2) y>−50 Պատասխան՝y∈(−50;+∞)

−3c≥−15|:(−3)(անհավասարության նշանը փոխվում է) c≤−15:(−3) c≤5 Պատասխան՝ c∈(−∞;5]

kx−b≥0 կամ  kx−b≤0 տեսքի անհավասարումները, որտեղ k -ն և b -ն տրված թվեր են, ընդ որում  k≠0, անվանում են մեկ  x անհայտով առաջին աստիճանի ոչ խիստ անհավասարումներ:

Օրինակ․

x−3≥0

x≥3

Պատասխան՝x∈[3;+∞)

Առաջադրանքներ․

1)Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերեք միջակայքը՝

ա)(-2; 7)

բ)(-17; 34)

գ)(1234; 1398)

դ)(-∞; 0)

ե)(0; +∞)

զ)(-∞; -3)

է)(2; +∞)

ը)(-∞; +∞)

թ)(- 1/3; 0,5)

2)Ինչպիսի՞ նշան (<; =; >) պետք է դնել a և b թվերի միջև, եթե a-b տարբերությունը՝

ա)դրական թիվ է a>b

բ)բացասական թիվ է a<b

3)Նկարում պատկերված միջակայքերը գրեք անհավասարությունների նշանների օգնությամբ։

X>1 X ∈ (1;+∞)
X<0 X ∈ (-∞;0)
-1<X<3 X ∈ (-1;3)

4)Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերեք բոլոր այն թվերը, որոնք բավարարում են նշված անհավասարումներին՝

ա)x > 0

բ)x < 3

գ)x > 3579

դ)x < -2

ե)x > -1748

զ)x < 0,00006

5)x — a տարբերությունը համեմատեք զրոյի հետ, եթե

ա)x > a մեծ է զրոյից

բ)x < a փորք է զրոյից

6)3 թիվը հանդիսանո՞ւմ է նշված անհավասարման լուծում՝

ա)x > 0

∈ 

բ)x > -2

∈ 

գ)x < 3,1

∈ 

դ)-3 < x < 3

∉ 

ե)2,(8) < x < 3,1

∈ 

Գիտենք, որ իրական թվերի երկրաչափական մոդելը թվային ուղիղն է: Ցանկացած իրական թիվ թվային ուղղի վրա ունի իր դիրքը: Հիմա կպարզենք, թե ինչպես են թվային ուղղի վրա պատկերվում թվային միջակայքերը: Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները. 

Անհավասարությունների և ծայրակետերի նշանակումներ	Բազմությունների նշանակումներ
≤ կամ ≥ ∙ (ծայրակետն ընդգրկված է)	[ և]քառակուսի փակագծեր
< կամ > о (ծայրակետն ընդգրկված չէ)	( և )կլոր փակագծեր

Գոյություն ունեն թվային ուղղի վրա բազմությունների 4 տեսակի նշանակումներ:

Ամբողջ թվային ուղիղը նշանակվում է այսպես՝ (−∞;∞)։

Եթե x թիվը միաժամանակ բավարարում է x>−4 և x<5 անհավասարություններին, ապա այն բավարարում է −4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը:

−4<x<5 երկկողմանի անհավասարությանը բավարարող բոլոր թվերի բազմությունը անվանում են թվային միջակայք և նշանակում են այսպես՝ (−4;5):

Միջակայքը պատկերենք թվային ուղղի վրա: Կարդում ենք՝ «−4, 5 ինտերվալ», կամ «բաց միջակայք» : Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված չեն (սևացված չեն):

Դիտարկենք ուրիշ միջակայքեր:

−4≤x≤5 կամ x∈[−4;5]: Կարդում ենք՝ «−4, 5 հատված», կամ «փակ միջակայք»: Նկատենք, որ հատվածի ծայրակետերը ընդգրկված են (սևացված են):

−4≤x<5 կամ x∈[−4;5): Կարդում ենք՝ «−4, 5 կիսաինտերվալ», կամ «կիսաբաց միջակայք»: Նկատենք, որ կիսաինտերվալի ծայրակետերից մեկը՝ −4 -ը ընդգրկված է (սևացված է), իսկ մյուսը՝ 5 -ը ընդգրկված չէ (սևացված չէ):

−4<x≤5 կամ x∈(−4;5]: Սա ևս կիսաինտերվալ է՝ բաց ձախ ծայրակետով:

Առաջադրանքներ․

1)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող բոլոր ամբողջ թվերը՝

ա)[-3;1]

-3, -2, -1, 0, 1

բ)(-3;1)

-2, -1, 0

գ)[-3;1)

-3, -2, -1, 0

դ)(-3;1]

-2, -1, 0, 1

ե)[-2;3]

-2, -1, 0, 1, 2, 3

զ)(-2;3)

-1, 0, 1, 2

է)[-2;3)

-2, -1, 0, 1, 2

ը)(-2;3]

-1, 0, 1, 2, 3

2)Պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝

ա)[3;5]

բ)(3;5)

գ)[3;5)

դ)(3;5]

ե)[-2;+∞)

զ)(-2;+∞)

է)(-∞;-2)

ը)(-∞;-2]

3)Պատկանու՞մ է արդյոք -2 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):

ա)[-3;0]

∈

բ)(-2;3)

∉

գ)(-∞;-2]

∈

դ)(-3;+∞)

∈

ե)N

∉

զ)Z

∈

է)Q

∉

ը)R

∈

4)Անվանեք թվային բազմությանը պատկանող երեք ամբողջ թվեր՝

ա)[0;+∞)

0, 1, 2

բ)(0;+∞)

1, 2, 3

գ)(-∞;1)

-2, -1, 0

դ)(-∞;1]

-1, 0, 1

5)Գրառեք նշանակումը և պատկերեք նշված բազմությունները թվային ուղղի վրա՝

ա)2-ից 4 փակ միջակայքի (հատվածի)

բ)2-ից 4 բաց միջակայքի

գ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 4-ը ներառած

դ)2-ից 4 կիսաբաց միջակայքի՝ 2-ը ներառած

ե)5-ից +∞ միջակայքի

6)Պատկանու՞մ է արդյոք 2/3 թիվը թվային բազմությանը (գրառումը կատարեք ∈ և ∉ նշանների օգնությամբ):

ա)(0;1] ∈

բ)[1;2] ∉

գ)(-∞;2/3]∈

դ)(2/3;+∞) ∉

ե)N ∉

զ)Z ∉

է)Q ∈

ը)R ∈

Առաջադրանքներ․

1)Նշեք նշված թվերից մեկից մեծ և մյուսից փոքր թիվ։ Պատասխանը գրեք կրկնակի անհավասարության տեսքով`
ա) 3<4<5;
բ)-25>-27>-29;
գ) 2,4 <2,402<2,404;
դ) 2,5<2,51 <2,6;
ե)-3,71 >3,715> -3,72;
զ) -0,501 <0< 0,6:

2)Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստացեք նոր ճշմարիտ անհավասարություն՝ գումարելով նրա երկու մասերին միևնույն թիվը՝
ա) 15 < 20

17<22
բ) 1,1 < 1,2

2,1<2,2
գ) 5 > 4

8>7
դ) 1,3 ≥ 1,2

2,3<2,2
ե) 2,5 < 3 ;

4,5<5
զ) 5 ≤ 6

7<8

3)Երկու ճշմարիտ անհավասարությունների հիման վրա կատարեք եզրակացություն։
Օրինակ 3 < 15 և 15 < 20, նշանակում է 3 < 20 :
ա)-5 < 0 և 0 < 2 ;

-5<2
բ) 2 > 1 և 1 > 0

2>0
գ) -3,7 > -4 և — 4 > — 7

-3,7>-7
դ)-2 < 0 և 0 < 2

-2<2
ե) 2,(1) > 2 և 2 > 1,(6)

2,1>1,6
զ) 0,(5) < 0,(6) և 0,(6) < 0,(67)

0.5<0.67

4)Բազմապատկեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները`
ա) 14 > 10 և 2 > 1

28>10
բ) 5 > 3 և 6 > 5

30>15
գ) 6 < 7 և 2 < 3

12<21
դ) 8 < 9 և 1 < 2

8<18

5)Գումարեք ճշմարիտ թվային անհավասարությունները՝

ա)14 > 11 և 10 > 9

24>20

բ)-2 > -3 և 3 > 2

1>-1

գ)-6 < -5 և 2 < 3

-4<-2

դ)-8 < 0 և 8 < 9

-64<0

6)Տրված ճշմարիտ անհավասարությունից ստացեք ճշմարիտ անհավասարություն, որում յուրաքանչյուր թիվ փոխարինված է իր հակադիրով։

Օրինակ, քանի որ 19 > 13, ապա -19 < -13։

ա)3 > 0

-3<0

բ)5 > -1

-5<1

գ)-9 < -1

9>1

դ)-5 < -1

5>1

ե)9 > -2

-9<2

զ)0 < 3

0>-3

1)Գումարեք կոտորակները․

ա)

8y/8xy

1/x

բ)

3-2x+y

——— x

գ)

2x+y/ ax

դ)

a-b-c/ac

2)Կատարե՛ք հանում․

ա)

3y-3y²-11x + 3x² /8xy

բ)

-42x +2y +1 / 11a

գ)

-27a + 31b -5c/2a

դ)

39x-10x²-x²y -49 y -490/7x

3)Կատարե՛ք գործողությունը․

ա)

3x/2y

բ)

4\3

գ)

3/4x²

դ)

121b²/30 a²

ե)

a-b/a

զ)

a²+a/5b

4)Լուծե՛ք խնդիրը․

ա)Ճանապարհի 1/8 մասը անցնելուց հետո ուղևորին մնացել էր անցնելու 455կմ։ Որքա՞ն էր ամբողջ ճանապարհի երկարությունը։

455:8·1=56կմ
455+56=511կմ
Պատասխան՝ 511կմ

բ)Ձեռնարկատերը հաշվեց, որ եթե կրկնապատկի աշխատատեղերի թիվը և այնուհետև ավելացնի ևս 16-ը, ապա աշխատողների թիվը կդառնա 200։ Քանի՞ աշխատատեղ կար ձեռնարկությունում։

92