Միևնույն հայտարարով A/B և C/B հանրահաշվական կոտորակները գումարում և հանում են հետևյալ կանոնով՝

Իսկ եթե կոտորակները ունեն տարբեր հայտարարներ, ապա նախ դրանք բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, նոր գումարում կամ հանում ըստ (1) և (2) կանոնների:

A/B և C/D հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումն ու բաժանումը կատարում են հետևյալ կանոնով՝

Առաջադրանքներ․

1)Կատարեք գործողությունները․

ա)x+y/3
բ)a-b/7
գ)2x-3y/5
դ)5m+3n/4
ե)x+3x/4=4x/4=x
զ)7a-3a/8=4a/8=a/2

2)Կատարեք գործողությունները․

ա)x-1+1/2-2=x/2
բ)2a-1+a/3=3a-1/3
գ)a+b+a/5=2a+b/5
դ)y-x+y/7=2y-x/7
ե)2+x+2x-8/3=3x-6/3
զ)2a/8 — a+1/8=a+1/8

3)Կատարեք գործողությունները․

ա)(x+1/x-1) — (2x/x-1)=x+1-2x/x-1=-1-x/x-1=-1
բ)(1/x-y) — (-1/x-y)=1+1/x-y=2x-y
գ)(2a/a-b) — (-3a/a-b)=5a/a-b
դ)4a-1+m-4/n-m=5(m-1)/n-m
ե)2p+q+p+3q/p+2q=3p+4q/p-2q
զ)8a+b+2a-3b=10a-2b/1-a

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Կատարեք գործողությունները․

ա)1+2/a=3/a
բ)a+3/x
գ)a-2a/b=-a/b
դ)3x²+2x²/a=5x²/a
ե)x+4+2x/a=3x+4/a
զ)x+1-x-3/x=-1/x

2)Կատարեք գործողությունները․

ա)8/a+b
բ)(2/x-1) — (-(1/x-1) ) =3/x-1
գ)6/a+b
դ)2(m-1)m-n
ե)-x-9/x-3
զ)8(p-1)/p+1

Կրկնե՛ք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը․

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a — b)² = a² — 2ab + b²

a² — b² = (a — b) (a + b)

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)
a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Առաջադրանքներ․

Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)(a+b)(a-b)/a+b=a-b
բ)x-1/(x+1)(x-1)=1/x+1
գ)(m-n)(m+n)/2(m+n)=m-n/2
դ)x(m+n)/(m-n)(m+n)x/m-n
ե)(x-1)²/(x-1)(x+1)=x-1/x+1
զ)(a+1)(a-1)/(a+b)1=a-1/a+b
է)(n+m)(n-m)/(n-m)²=n+m/n-m
ը)p(1-p)/(p-1)(p+1)=p/p+1
թ)x(x+1)/x(x²-1)=x(x+1)/x(x-1)(x+1)=x/x(x-1)=1/x-1
ժ)a²(a-2)/(2-a)(2+a=a2/2+a

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)3(m-n)/(m²-n)(m²+mn+n²)=3/m²+mn+n²
բ)(1-a)(1+a+a²)/1+a+a²=1-a
գ)(x-y)(x²+xy+y²)/(x-y)(x+y)=x²+xy+y²)/x+y
դ)2(p²-p+1)/(p+1)(p²-p+1)=2/p+1
ե)(a-2)²/(a-2)(a+2)=a-2/a+2
զ)3(x+y)²/12(y-x)(y+x)=x+y/4(x-y)
է)(m-n)(m+n)/(m-n)(m²+mn+n²)=m+n/m2+mn+n2
ը)2(p-q)(p²+pq+q²)/4(q-p)(q+p)=p²+pq+q²/2(q+p)
թ)6(a-b)(a+b)/3(a+b)(a²-ab+b²)=2(a-b)/a²-ab+b
ժ)(x-y)(x²+y+y²)(x+y)/(x-y)(x+y)=x²+xy+y²

1)Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)2(x+y)/4=x+y/2
բ)3(a+b)/6a=a+b/2a
գ)4m-4n/8mn=m-n/2mn
դ)12ab/6(a-b)=2ab/a-b
ե)2(a-b)/4(a+b)=a-b/2(a-b)
զ)6(x+y)/3(x-y)=2(x+y)/x-y

2)Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)3xy/3x(xa-1)=y/xa-1
բ)4m²n/2mn(3n-4m)=2m/3n-4m
դ)x(4y-x)/x²y(4y-x)=1/xy
ե)2m(n-3m)/4mn(3m-n)=n-3m/2n(n-3m)=2n
զ)8p²q³(2p-3q)/4p²q²(3q-2p=2p(2p-3q)/(2p-3q)=-2q

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

ա)x(a-b)/x(c+b)=a-b/c+d
բ)c(a+b)/c(m+n)=a+b/m+n
գ)x²/(x+y)x=x/x+y
դ)ab/a-a(1-b)=b/1-b
ե)m²n/mn(m-n)=m/m-n
զ)x(a-b)/x(y+x)=a-b/y+x
է)p(p-1)/p(a-b)=p-1/a-b
ը)x(x-y)/2x(y+x)=x-y/2(y+x)

Թվային արտահայտությունը կազմվում է թվերից, թվաբանական գործողությունների նշաններից և փակագծերից:

Թվային արտահայտության գործողությունների արդյունքում ստացված թիվը կոչվում է թվային արտահայտության արժեք:

Եթե թվային արտահայտությունը պարունակում է նաև տառեր (կամ միայն տառեր), ապա այն կոչվում է հանրահաշվական արտահայտություն:

Հանրահաշվական կոտորակ կոչվում է AB տեսքի արտահայտությունը, որտեղ A-ն որևէ բազմանդամ է, իսկ B-ն՝ ոչ զրոյական բազմանդամ:

Հանրահաշվական կոտորակը բազմանդամի և ոչ զրոյական բազմանդամի քանորդ է:

x/x−3; b−1/b+6; 1+x³/x²+1; y+2/y²−6y+6 արտահայտությունները հանրահաշվական կոտորակներ են:

Հանրահաշվական կոտորակների հիմնական հատկությունը․

Կոտորակի համարիչի և հայտարարի նույն թվի վրա բաժանելը կոչվում է կոտորակի կրճատում:

Հանրահաշվական կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկենք միևնույն արտահայտությամբ, որի արժեքը զրոյից տարբեր է:

Հանրահաշվական կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկենք միևնույն արտահայտությամբ, որի արժեքը զրոյից տարբեր է:

Հաճախ հանրահաշվական կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս, պետք է լինում փոխարինել կոտորակի համարիչը կամ հայտարարը հակադիրով: Սակայն, որպեսզի կոտորակի արժեքը չփոխվի, պետք է հետևել նշանի փոփոխության կանոններին՝

կոտորակի արժեքը չի փոխվի, եթե 

— փոխենք համարիչի և հայտարարի նշանները,

— փոխենք համարիչի և ամբողջ կոտորակի նշանները,  

— փոխենք հայտարարի և ամբողջ կոտորակի նշանները:

Եթե A-ով և B-ով նշանակենք հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը, ապա նշանի փոփոխման կանոնը կարելի է գրել հետևյալ կերպ՝  

Առաջադրանքներ․

1)Հետևյալ կոտորակներից ո՞րն է հավասար 2/(x−14)-ի:

Ընտրի՛ր պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

• −(x+14)/−2
• −2/−(x−14)
• (x−14)/−2
• 2/(14−x)
• −2/(14−x)

2)Կոտորակը ձևափոխեք այնպես, որ նրա առջև դրված նշանը փոխվի հակադիրով՝

-(a-1)/a

x/3-x

-(y-x)/x+y

a²+1/2-a

3)Կոտորակները բերեք 36x² հայտարարի`

5x²/36x²
72/36x²
132x/36x²
28/36x²
9x/36x²

4)A միանդամը կամ բազմանդամը ընտրեք այնպես, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն

x/4=x/A
A=4

mn/2(x-y)=mn/A
A=2(x-y)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Կիրառելով հանրահաշվական կոտորակների հիմնական հատկությունը, ∗-ի փոխարեն գրիր այնպիսի արտահայտություն, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն`

∗/9p=t²/p
*=t^2_.9p/p=9t²

2)2z/7y կոտորակը բերե՛ք 42y հայտարարի:

Ընտրի՛ր պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

• 12z/42y
• 6z/42y
• 2z/42y

3)Կոտորակները բերեք 20x²y հայտարարի`

x²/20x²y
100y/20x²y
7x²y/20x²y
110xy/20x²y
12x/20x²y

4)A միանդամը կամ բազմանդամը ընտրեք այնպես, որ ստացվի ճիշտ հավասարություն՝

2/3a²=2/A
A=3a²

a/4b=A/4b
A=a

1)Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)x+y/2ax
բ)1
գ)2/5
դ)1/2
ե)(x-y)²/4xy
զ)5m/7n(a-b)
է)p/2q
ը)4(a+b)/9

2)Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)-1
բ)-2/3
գ)-2n
դ)3a/7

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

Կրճատե՛ք կոտորակները․

ա)1/2
բ)2/3
գ)3/14
դ)64/231
ե)a/3
զ)2/3b
է)1/x²
ը)2mn/3
թ)2b²/3a²
ժ)6x²/7yz

Առաջադրանքներ․

1)

ա, (a²)⁵

բ, (a²)⁶

գ, (a²)²¹
2)

3)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)

2)

3)

Հիշե՛ք․

1.a^m⋅aⁿ=a^m+n

2.a^m/aⁿ=a^m−n

3.aⁿ⋅bⁿ=(a⋅b)ⁿ

4.aⁿ/bⁿ=(a/b)ⁿ

5.(aⁿ)^m=a^n⋅m

Առաջադրանքներ․

Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․

ա)a⁵:a⁶ =a^-1
բ)a⁷:a⁶=a¹
գ)a⁴:a⁶=a^-2
դ)a¹²:a¹²=a⁰=1
ե)a^-4:a⁶=a^-10
զ)a⁴:a^-5=a⁹
է)a^-11:a^-8=a^-19
ը)a^-4:a=a^-5
թ)a⁶:a⁵=a¹=a
ժ)a⁹:a⁰=a⁹
ի)a^-3:a⁰=a^-3
լ)a⁰:a^-8=a⁸

ա)2⁷
բ)5⁷
գ)4⁶
դ)7⁸
ե)3¹⁵
զ)6¹³
է)11⁶
ը)9¹⁶

ա)(10/12)²
բ)4³/(5²)³=(4/25)³
գ)25⁴/(7²)⁴=(25/49)⁴
դ)m¹²/a¹²=(m/a)¹²
ե)m⁸/a⁸=(m/a)⁸
զ)n¹²/a¹²=(n/a)¹²

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․

ա)2¹=2
բ)3^-1
գ)5⁸
դ)10²
ե)5^-6
զ)8²

ա)a⁹
բ)a¹¹
գ)a¹¹
դ)a⁸
ե)a²
զ)a¹⁰

ա)a⁴
բ)a^-4
գ)a⁵
դ)a⁸
ե)a-2
զ)a¹⁹

Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝

{a₁x+b₁y+c₁=0

{a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:

Առաջին աստիճանի գծային հավասարմանը բավարարում են նրա գրաֆիկի՝ ուղիղ գծի վրա գտնվող բոլոր (x;y) կետերը:

Հետևաբար, եթե մենք ուզում ենք, որ բավարարվեն համակարգի երկու գծային հավասարումները միաժամանակ, ուրեմն պետք է փնտրել այնպիսի (x;y) կետեր, որոնք միաժամանակ պատկանում են երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրին:

Այսպիսով, համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:

Օրինակ՝

1. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{x+2y−5=0,

{2x+4y+3=0

x+2y−5=0 հավասարման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Կառուցենք այդ ուղիղը:  

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (5;0) և (0;2.5) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

2x+4y+3=0 հավասարման գրաֆիկը ևս ուղիղ գիծ է: 

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (−1.5;0) և (2.5;−2) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները զուգահեռ են և չունեն ընդհանուր կետեր:

Պատասխան՝ համակարգը լուծում չունի:   

Օրինակ՝

2. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{2x−y−5=0,

{2x+y−7=0

Համակարգի հավասարումները բերենք գծային ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքին՝ y=2x−5 և y=−2x+7

y=2x−5 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;−5) և (3;1) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

y=−2x+7 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;7) և (1;5) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները հատվում են A կետում, որի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

Պատասխան՝ (3;1)

Օրինակներում կիրառեցինք համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:

Գրաֆիկական եղանակը հուսալի չէ, քանի որ միշտ չի հաջողվում ճշգրիտ գտնել հատման կետի կոորդինատները: Այդ պատճառով, խորհուրդ է տրվում գրաֆիկորեն գտնված կետը տեղադրել համակարգի հավասարումների մեջ և համոզվել, որ դրանք բավարարվում են:

Այսպիսով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:

1. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են հատվել մեկ կետում: Այդ կետի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

2. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են լինել զուգահեռ և չհատվել: Այս դեպքում համակարգը լուծում չունի:

3. Համակարգի հավասարումներով տրված ուղիղները կարող են համընկնել: Այս դեպքում համակարգն ունի անվերջ թվով լուծումներ:

Առաջադրանքներ․

Հավասարումների համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով․

1)

2;0
2)

Լուծում չունի :

3)

Պատ. 3;1

4)

Հատման կետը ՝ 0;1

անվերջ լուծումներ:

Օրինակ (հնագույն) Հանդիպեցին երկու հովիվ՝ Հովհաննեսը և Պետրոսը: Հովհաննեսն ասում է Պետրոսին. «Տուր ինձ մի ոչխար, և ինձ մոտ կլինի երկու անգամ ավելի ոչխար, քան քեզ մոտ»: Իսկ Պետրոսը նրան պատասխանում է. «Ոչ, ավելի լավ է դու տուր ինձ մի ոչխար, և մեզ մոտ կլինեն հավասար թվով ոչխարներ»: Քանի՞ ոչխար ուներ նրանցից յուրաքանչյուրը:

Լուծում: Դիցուք Հովհաննեսն ուներ x ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ y ոչխար: Եթե Պետրոսը Հովհաննեսին տար մեկ ոչխար, ապա Պետրոսի մոտ կմնար (y-1) ոչխար, իսկ Հովհաննեսի մոտ կլիներ (x+1) ոչխար:

Բայց այդ դեպքում Հովհաննեսի մոտ երկու անգամ շատ ոչխար կլիներ, քան Պետրոսի մոտ: Հետևաբար

                                        x+1=2(y-1):

Իսկ եթե Հովհաննեսը Պետրոսին մեկ ոչխար տար, ապա Հովհաննեսի մոտ կմնար (x-1) ոչխար, իսկ Պետրոսի մոտ կդառնար (y+1) ոչխար: Բայց այդ դեպքում նրանք կունենային հավասար թվով ոչխարներ: Հետևաբար

                                      x-1=y+1:

Այս երկու հավասարումներից կազմենք համակարգ՝

Համակարգն էլ լուծելով մեզ արդեն ծանոթ տեղադրման կամ գումարման եղանակով՝ կստանանք, որ x=7; y=5: Այսպիսով, Հովհաննեսն ունի 7 ոչխար, իսկ Պետրոսը՝ 5 ոչխար:

Առաջադրանքներ․

1) 

ա) Երկու թվերի գումարը 10 է, իսկ տարբերությունը՝ 4: Գտեք այդ թվերը:
7; 3

բ) Երկու թվերի գումարը 21 է, իսկ տարբերությունը՝ 9: Գտեք այդ թվերը:
15; 6

2) Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 44: Գտեք այդ թվերը:
11; 5

3) Տրված են երկու թվեր։ Եթե առաջին թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 1-ով մեծ կլինի երկրորդից, իսկ եթե երկրորդ թիվը բազմապատկենք 2-ով, ապա ստացված թիվը 7-ով մեծ կլինի առաջինից։ Գտեք այդ թվերը։
3; 5

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)

 ա) Մի թիվը 6-ով մեծ է մյուսից: Այդ թվերի գումարը հավասար է 40-ի: Գտեք այդ թվերը:
17; 23

բ) Մի թիվը 15-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 23 է:
19; 4

2) Մի թիվը 7-ով մեծ է մյուսից: Եթե փոքր թիվը մեծացվի 2 անգամ, իսկ մեծը՝ 6 անգամ, ապա նրանց գումարը կդառնա 31: Գտեք այդ թվերը:
— 8/11; 45/8

3)Լուծիր համակարգը քեզ հարմար եղանակով։

7; 2

1; 5