Լուծեք հավասարումների համակարգը․

-1; 2

-5; 18

0; 3

7; 5

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

-12; -39

2; -1

7; -2

5; -6

Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման գումարման (գործակիցների հավասարեցման) եղանակի ալգորիթմը:

1. Հավասարեցնել (եթե անհրաժեշտ է) փոփոխականներից մեկի գործակիցների մոդուլները:
2. Գումարել կամ հանել հավասարումները: Լուծել ստացված մեկ փոփոխականով հավասարումը և գտնել անհայտներից մեկը:  

3. Երկրորդ քայլում գտած արժեքը տեղադրել հավասարումներից որևէ մեկի մեջ և գտնել համակարգի երկրորդ փոփոխականի արժեքը:  

4. Գրել պատասխանը: 

Օրինակ՝ Լուծել հավասարումների համակարգը՝ 

Գումարենք հավասարումները՝

x-ի գտած արժեքը տեղադրենք հավասարումներից որևէ մեկի մեջ, օրինակ՝ երկրորդի և գտնենք y-ը՝

Առաջադրանքներ․

1)

-5; 4

2)

-5; -18
3)

-1;4

4)

0.5; 2.5

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Լուծեք հավասարումների համակարգը․

1)

0; 1
2)

-1; 1

3)

-1; 5

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Տեղադրման եղանակով լուծել հավասարումների համակարգը․
Առաջադրանքներ․

y=11-2x

3x-(11-2x)=9

3x-11+2x=9

5x=9+11=20

x=4

y=3

x=5-2y

2(5-2y)-y=5

10-5y=5

15=5y

y=3

x=-1

x=6-3y

2(6-3y)=7

12-6y=7

19=6y

y=6/19

x=6-6/19

y=-5x+7

x-3(-5x+7)-11=0

х+15х-21-11=0

16х-32=0

16х=32

х=2

y=-3

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

y=1-2x

3x-1-2x=4

5x=5

x=1

y=-1

y=7-x

2x-7-x=8

x=15

y=-8

Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման գումարման (գործակիցների հավասարեցման) եղանակի ալգորիթմը:

1. Հավասարեցնել (եթե անհրաժեշտ է) փոփոխականներից մեկի գործակիցների մոդուլները:
2. Գումարել կամ հանել հավասարումները: Լուծել ստացված մեկ փոփոխականով հավասարումը և գտնել անհայտներից մեկը:  

3. Երկրորդ քայլում գտած արժեքը տեղադրել հավասարումներից որևէ մեկի մեջ և գտնել համակարգի երկրորդ փոփոխականի արժեքը:  

4. Գրել պատասխանը: 

Օրինակ՝ Լուծել հավասարումների համակարգը՝ 

Գումարենք հավասարումները՝

x-ի գտած արժեքը տեղադրենք հավասարումներից որևէ մեկի մեջ, օրինակ՝ երկրորդի և գտնենք y-ը՝

Առաջադրանքներ․

Լուծեք հավասարումների համակարգը․

1)

y-4=0
y=4
x+4+1=0
x=-5

2)

x-5=0
x=5
15+y+3=0
y=-18

3)

7y+7=0
7y=-7
y=-1
x-3-1=0
x=4

4)

4x-2=0
4x=2
x=2/4=1/2=0,5
0,5-y+2=0
-y=-2,5
y=2,5

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

Լուծեք հավասարումների համակարգը․

1)

-4y+4=0
-4y=-4
y=1
x+1-1=0
x=0

2)

y+1=0
y=-1
x+2+3=0
x+5=0
x=-5

3)

x+1=0
x=-1
1-y+4=0
5-y=0
-y=-5
y=5

Երկու անհայտներով երկու հավասարումների համակարգի լուծման տեղադրման եղանակի ալգորիթմը:

1. Համակարգի հավասարումներից որևէ մեկից (սովորաբար ավելի պարզից) արտահայտել փոփոխականներից մեկը մյուսի միջոցով, օրինակ՝ առաջին հավասարումից արտահայտել x-ը y-ի միջոցով:

2. Ստացված արտահայտությունը տեղադրել մյուս (երկրորդ) հավասարման մեջ, օրինակ՝ x-ի փոխարեն:

3. Լուծել մեկ անհայտով հավասարումը, օրինակ՝ y-ի նկատմամբ (գտնել y-ը ),

4. Երրորդ քայլում գտնված y-ի արժեքը տեղադրել y-ի փոխարեն՝ առաջին քայլում ստացված հավասարման մեջ և գտնել x-ը:

5. Գրել պատասխանը:

Օրինակ

Լուծել հավասարումների համակարգը՝

1) Առաջին հավասարումից ստանում ենք՝

x−2y=3

x=3+2y

2) Ստացված արտահայտությունը տեղադրում ենք երկրորդ հավասարման մեջ՝ x-ի փոխարեն՝

5⋅x+y=4

5⋅(3+2y)+y=4

3) Լուծենք ստացված հավասարումը և գտնենք y-ը՝

5⋅(3+2y)+y=4

15+10y+y=4

10y+y=4−15

11y=−11

y=−1

4) Տեղադրենք y-ի գտնված արժեքը առաջին քայլում ստացած հավասարման մեջ՝ y-ի փոխարեն և գտնենք x-ը՝

x=3+2⋅y

x=3+2⋅(−1)

x=3−2

x=1

5) Պատասխան՝ (1;−1)
Առաջադրանքներ․

1)

{x=2y
{2*2y-3y-7=0
4y-3y-7=0
y=7
x=14

2)

{x=-5y
{-15y+7y-16=0
-8y-16=0
-8y=16
y=-2
x=10

3)

{y=3x
{x-6x+10=0
-5x=-10
x=2
y=3*2

4)

{y=7x
{3x-7x+12=0
-4x+12=0
-4x=-12
x=3

Տեսական մասը կրկնեք այստեղ․

Առաջադրանքներ․

1.Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․

x+y=5
y=5-x

2x-y=3
y=2x-3

x+y-5=0
y=5-x

2x-y+2=0
y=2x+2

3x+5y=8
5y=8-3x
y=(8-3x)/5

-3x+2y=7
2y=7+3x
y=(7+3x)/2

2.Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից՝

ա)Երկու թվերի գումարը հավասար է 10:
x+y=10

բ)2լ կաթը և 3 բատոն հացը միասին արժեն 990 դրամ։
2x+3y=990

3.a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (3,-2) թվազույգը 3x-ay-4=0 հավասարման լուծում է։
9+2a-4=0
2a+5=0
2a=-5
a=-2,5

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1.Տրված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով․

4x-y+3=0
y=4x+3

x-3y+6=0
3y=x+6
y=(x+6)/3

3x+y-2=0
y=-3x+2

3x+2y-5=0
2y=-3x+5
y=(-3x+5)/2

2.Կազմեք երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում հետևյալ պայմանից՝

ա)Երկու թվերի գումարը հավասար է 20:
x+y=20

բ)3 կոնֆետը և 4 թխվածքաբլիթը միասին արժեն 1800 դրամ։
3x+4y=1800

3.b-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում (-1,-4) թվազույգը bx-7y-3=0 հավասարման լուծում է։
-b+28-3=0
b=25

ax+by+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a−ն,b−ն,c−ն թվեր են (գործակիցներ), կոչվում է x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարում: a և b թվերը կոչվում են անհայտների գործակիցներ, իսկ c-ն՝ ազատ անդամ: 

 ax+by+c=0 հավասարման լուծում անվանում են ցանկացած (x;y) թվազույգ, որը բավարարում է ax+by+c=0 հավասարմանը, այսինքն՝ հավասարման մեջ տեղադրելիս այն վերածում է ճիշտ թվային հավասարության:

Օրինակ՝

 x+y−3=0 երկու անհայտով գծային հավասարման լուծումներ կարող են լինել (3;0),(2;1),(1;2),(0;3),(4;−1) թվազույգերը։

Առաջադրանքներ․

1)Գրե՛ք անհայտների գործակիցները և ազատ անդամը․

ա)3x — y + 5 = 0
Գործակից՝ 3,-1 ազատ․ 5

բ)2x — 5y — 1 =0
Գործակից՝ 2,-5 ազատ․ -1

գ)2x + 3y — 1 = 0
Գործակից՝ 2,3 ազատ․ -1

դ)4x — 7y -4 = 0
Գործակից՝ 4, -7 ազատ․ -4

2)Ցույց տվեք, որ (1; -1), (5; -7), (-3; 5) թվազույգերը 3x + 2y — 1 = 0 հավասարման լուծումներ են։
3-2-1=0
15-14-1=0
-9+10-1=0

3)Հետևյալ թվազույգերը 2x — y + 4 = 0 հավասարման լուծումնե՞ր են․

ա)(1; -2)

բ)(0; 4)

գ)(-2; 1)

դ)(3; 4)

ե)(5; 0)

զ)(-2; 0)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Տրված a, b և c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում․

ա)a = 5, b = 4, c = -2
5x+4y-2=0

բ)a = 0, b = -3, c = 4
-3y+4=0

գ)a = 0, b = 2, c = -1
2y-1=0

դ)a = -5, b = -1, c = 0
-5x-y=0

2)(1, 3) թվազույգը հավասարման լուծո՞ւմ է․

ա)2x — 3y + 5 = 0
2-9+5=0 ոչ

բ)-x + y — 2 = 0
-1+3-2=0 այո

գ)x — y — 6 = 0
1-3-6=0 ոչ

դ)7x — 3,2y + 4= 0
7-9,6+4=0 ոչ

ե)x + 2y — 7 = 0
1+6-7=0 այո

զ)4x — 7y + 21 = 0
4-21+21=0 ոչ

3)Ցո՛ւյց տվեք, որ (2; 1) թվազույգը 2x — 6y = -2 հավասարման լուծում է, իսկ (1, 2) թվազույգը՝ ոչ։

4-6=-2 այո
2-12=-2 ոչ

1)Արտահայտությունը գրե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքով.

ա) (x + y )² =x²+2xy+y²

բ) (2a + 5 )² =4a²+20a+25

գ) (2c + 4d² )² =4c²+16cd²+16d⁴

դ) (7t + 3s³ )² =49t²+42ts³+9s⁶

2)Արտահայտությունը գրե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքով.

ա) (a + b)(a − b)=a²−b²

բ) (3 x² + 5)(3 x² − 5)=9x⁴−25

գ) (4x − y)(4x + y) =16x²−y²

դ) (11a − 5b)(5b + 11a) =121a²−25b²

3)Բազմանդամը վերլուծե՛ք արտադրիչների.

ա) a³ − b³ =(a−b)(a²+ab+b²)

բ) b³ − 125 =(b−5)(b²+5b+25)

գ) 27a³ − 8b³ =(3a−2b)(9a²+6ab+4b²)

դ) c³ − 27 =(c−3)(c²+3c+9)

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Արտահայտությունը բերե՛ք բազմանդամի կատարյալ տեսքի.

ա) (x + y)( x² − xy + y²) =x³+y³

բ) (2m + n)(4m² − 2mn + n²) =8m³+n³

գ) (3a + b)(9a² − 3ab + b²) =27a³+b³

ե) (b + 5)(25 − 5b + b²) =a³+8

դ) (a + 2)(a² − 2a + 4) =b³+125

զ) (1 + x²)( x⁴ + 1 − x²) =x⁶+1

2)Բազմանդամը ներկայացրե՛ք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալի
տեսքով.

ա) x² + 4x =x(x+4)

բ) x³ + x²y + 3xy³ =x(x²+xy+3y³)

գ) x⁴ y³ + 4x² y⁷ − 11x⁵ y ⁴ =x²y³(x²+4y⁴)−11x⁵y⁴

դ) a³ b + a ² b² + ab³ =ab(a²+ab+b²)

ե) a² + 3a⁴ =a²(1+3a²)

զ) 16k⁴m² − 4k³m³ =4k³m²(4k−m)

Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր․

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a — b)² = a² — 2ab + b²

a² — b² = (a — b) (a + b)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)
a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

1.Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի․

(x−30)² =x²-60x+900

(2a+b)² =4a²+4ab+b²

(m²n+nm²)² =2m⁴n²+2m²n

2.Հավասարության մեջ ի՞նչ թիվ պետք է լինի բազմակետերի փոխարեն.

(7y−5)(7y+5)= 49y²−25

(6x−5)(6x+5)=36x²−25

3.Ընտրիր պատասխանի ճիշտ տարբերակը:

Աստիճան բարձրացնելիս՝ (b+3)² ստացվում է՝

• b²+6b+9
• 9+3+b+b²
• 9+b²
• b²−6b+9

4.Պարզեցրեք արտահայտությունը․

(a + 1)² — 2(a + 1) + 1 =a²

(x + 2y)² + 2(x² — 4y²) + (2y — x)² =4x²

5.Բազմանդամը վերլուծեք արտադրիչների․

4a² + 4a + 1 =(2a+1)²

9m² — 6m + 1 =(3m-1)²

a² — 2a + 1 =(a-1)²

-6a +a² + 9 =(a-3)²

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

a, ay

a, b, b⁴

a, a2b,2b

Պարզեցրեք արտահայտությունը․

բ) (m — n)² + 2n(m — n) + n² =m²

գ) (p — q)² — 2(p² — q²) + (p + q)² =4q²