Month: Մարտ 2025

1)Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

2)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ² է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։

3)Քառակուսին և քառակուսի չհանդիսացող շեղանկյունն ունեն հավասար պարագծեր։ Համեմատեք այդ պատկերների մակերեսները։

4)Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ² է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սկսած սուր անկյան գագաթից։

5)Համեմատեք ուղղանկյան և զուգահեռագծի մակերեսները, եթե նրանք ունեն հավասար հիմքեր և հավասար պարագծեր։

6)ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ <ECD = 60^o, <CED = 90^o, AB = 4 սմ, AD = 10 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

60•90•4 •10 = 216000սմ                                

7)MPKT զուգահեռագծի MT կողմի վրա նշված է E կետը, <PEM = 90^o , <EPT = 45^o , ME = 4 սմ, ET = 7 սմ։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։
90•45•4•7 = 113400սմ

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

Զուգահեռագծի բարձրությունը ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

Սովորաբար ուղղահայացը տանում են զուգահեռագծի գագաթից: Քանի որ զուգահեռագիծն ունի տարբեր երկարությամբ կողմերի երկու զույգ, ապա այն ունի տարբեր երկարությամբ երկու բարձրություն: 

BE բարձրությունը, որը տարված է երկու մեծ կողմերի միջև ավելի կարճ է, քան BF-ը, որը տարված է կարճ կողմերի միջև:  

Եթե a-ով նշանակել կողմը, իսկ h-ով բարձրությունը, ապա՝

Sզուգահեռագիծ = a ⋅ h

Շեղանկյան մակերեսը․

Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են և հատման կետով կիսվում են: Շեղանկյունը բաժանվում է չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

Շեղանկյան մակերեսի բանաձևը․

Sշեղանկյուն = d₁ ⋅ d₂ / 2

Առաջադրանքներ․

1)Դիցուք՝ զուգահեռագծի հիմքը a-ն է, բարձրությունը՝ h-ը, իսկ մակերեսը՝ S-ը։ Գտեք՝

ա)S-ը, եթե a = 15 սմ, h = 12 սմ

15*12=180

բ)a-ն, եթե S = 34 սմ² , h = 8,5 սմ

34:8.5=4

գ)h-ը, եթե S = 162 սմ², a = 9 սմ

162:9=18

դ)a-ն, եթե h = 1/2a, S = 21a

21a:1/2a=42

2)Զուգահեռագծի անկյունագիծը 13 սմ է և ուղղահայաց է զուգահեռագծի այն կողմին, որը 12 սմ է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

13*12=156

3)Զուգահեռագծի կից կողմերը հավասար են 12 սմ և 13 սմ, իսկ սուր անկյունը 30^o է։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

4)Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, իսկ անկյուններից մեկը՝ 150^o ։ Գտեք շեղանկյան մակերեսը։

6*3=18

5)Զուգահեռագծի կողմը 8,1 սմ է, իսկ 14 սմ-ի հավասար անկյունագիծը նրա հետ կազմում է 30^o անկյուն։ Գտեք զուգահեռագծի մակերեսը։

14:2=7

8,1*7=56,7

6)Դիցուք՝ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կից կողմերն են, իսկ h₁-ը և h₂ -ը՝ բարձրությունները։ Գտեք՝

ա)h₂ -ը, եթե a = 18 սմ, b = 30 սմ, h₁ = 6 սմ, h₂ > h₁

18*6=108

180=30*h2

h2=108:30=3,6

բ)h₁ -ը, եթե a = 10 սմ, b = 15 սմ, h₂ = 6 սմ, h₂ > h₁

15*6=90

90=10*h1

գ)h₁ -ը և h₂ -ը, եթե մակերեսը՝ S = 54 սմ² , a = 4,5 սմ, b = 6 սմ

54:4,5=12

54:6=9

1)Մի քառակուսու կողմը k անգամ մեծ է մյուս քառակուսու կողմից: Գտե՛ք այդ քառակուսիների մակերեսների հարաբերությունը:

a²k²:a²=k²

2)Քառակուսաձև սենյակներից մեկի կողմը 2 անգամ փոքր է մյուսի կողմից: Գտե՛ք փոքր սենյակի մակերեսը, եթե մեծի մակերեսը 36 մ է:

6:2=3

3×3=9

3)Խոհանոցի պատը երեսապատված է 15 սմ կողմով քառակուսաձև 120 սալիկով: Քանի՞ ուղղանկյունաձև նոր սալիկ է պետք նույն պատը երեսապատելու համար, եթե նոր սալիկների կից կողմերը 10 սմ և 20 սմ են:

15*15=225

120*225=27000

10*20=200

27000:200=135

4)Գտե՛ք 54 սմ պարագծով ուղղանկյան մակերեսը, եթե՝
ա) կից կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ–ով,

54-6=48

48:4=12

12+3=15

15*12=180

բ) կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4 : 5,

54:18=3

3*4=12

3*5=15

15*12=180
գ) կողմերից մեկը (b + 17) սմ է:

2a+2b+34=54

54-34=20

20:2=10

(10-b)(b+17)

Առաջադրանքներ․

1)Քառակուսու պարագիծը 32 սմ է, իսկ ուղղանկյան կողմերից մեկը՝ 45 սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մյուս կողմը, եթե հայտնի է, որ նրա և քառակուսու մակերեսները հավասար են։

32:4=8

8×8=64

64:45=64/45

2)Տրված է ABCD քառակուսին։ AD ճառագայթի վրա վերցված է M կետն այնպես, որ <AMB=30^o, և BM=20 սմ։ Գտեք այդ քառակուսու մակերեսը։

3)Անհրաժեշտ է սենյակի՝ 5,5 մ և 6 մ կողմերով ուղղանկյունաձև հատակը ծածկել մանրահատակով։ Դրա համար քանի՞ մանրահատակ կպահանջվի, եթե այդ տախտակներից յուրաքանչյուրն ունի 30 սմ երկարությամբ և 5 սմ լայնությամբ ուղղանկյան ձև։

550×600=330000

30×5=150

330000:150=2200

4)ABCD ուղղանկյան A անկյան կիսորդը BC կողմը հատում է K կետում։Հայտնի է, որ BK=5սմ , KC=7սմ։ Գտեք այդ ուղղանկյան մակերեսը։

5)15 սմ կողմով քառակուսաձև քանի՞ սալիկ կպահանջվի, որպեսզի երեսպատվի 3մ և 2,7մ կողմերով ուղղանկյունաձև պատը։

300×270=81000

15×15=225

81000:225=360

Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի արտադրյալին: Քառակուսու բոլոր կողմերը իրար հավասար են, այդ իսկ պատճառով նրա մակերեսը հավասար է նրա կողի քառակուսուն:

Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է նրա կից կողմերի արտադրյալին:

Մակերեսները չափելու համար օգտվում են նրանց հիմնական հատկություններից:

1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:

2. Եթե պատկերը կազմված է մի քանի մասերից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ մասերի մակերեսների գումարին:

Առաջադրանքներ․

1)Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերը հավասար են 2սմ և 8սմ։ Գտեք սեղանի պարագիծը։

2)Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի հիմքերից մեկը հավասար է մյուսի եռապատիկին, իսկ սեղանի սրունքը 8սմ է։ Գտեք սեղանի հիմքերը։

3)Գտեք շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի կողմերը, եթե նրա պարագիծը 40սմ է, իսկ հիմքերից մեկը 4 անգամ փոքր է մյուսից։

4)Հավասարասրուն սեղանին ներգծած է շրջանագիծ։ Այդ սեղանի պարագիծը 60սմ է։ Գտեք նրա սրունքը։

5)Հավասարասրուն սեղանի սրունքը 8սմ է, իսկ փոքր հիմքին առընթեր անկյունների գումարը՝ 300^օ ։ Գտեք այդ սեղանին ներգծած շրջանագծի շառավիղը։

Հարթության մեջ երկու շրջանագծերի փոխադարձ դասավորությունը կախված է՝

• նրանց կենտրոնների դասավորությունից, 
• նրանց շառավիղների երկարություններից: 

Հնարավոր է երեք դեպք:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են՝ ունեն երկու ընդհանուր կետ:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են՝ ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Դիտարկենք հնարավոր դեպքերը:

1) Երկու շրջանագծերը հատվում են. ունեն երկու ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների գումարից:

2) Երկու շրջանագծերը շոշափում են. ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Այս դեպքում հնարավոր են հետևյալ դեպքերը՝

• արտաքին շոշափում,
• ներքին շոշափում:

Արտաքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների գումարին:

Ներքին շոշափման ժամանակ կենտրոնների հեռավորությունը հավասար է շառավիղների տարբերությանը:

3) Երկու շրջանագծերը ընդհանուր կետեր չունեն:

Այս դեպքում ևս հնարավոր է երկու դեպք:

• Երկու շրջանագծերով սահմանափակված շրջանները չեն հատվում:
• Փոքր շառավղով շրջանը ընկած է մեծ շառավղով շրջանի մեջ:

Առաջին տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը մեծ է շառավիղների գումարից:

Երկրորդ տարբերակում կենտրոնների հեռավորությունը փոքր է շառավիղների տարբերությունից:

Առաջադրանքներ․

1)Տրված են երկու շրջանագծեր, որոնք ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

r1-ը և r2-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են:

Ընտրիր ճիշտ պնդումը:

• OB>r₁+r₂
• r₁+r₂=OB
• r₁+r₂>OB

2)Տրված են հետևյալ երկու շրջանագծերը, որոնք ընդհանուր կետեր չունեն:

r₁-ը և r₂-ը համապատասխանաբար մեծ և փոքր շրջանագծերի շառավիղներն են:

Ընտրիր ճիշտ պնդումը:

• r₁−r₂=AC
• AC<r₁−r₂
• AC=r₁+r₂

3)Գտիր ED-ն, եթե AC= 4 սմ, իսկ շրջանագծերի կենտրոնների միջև հեռավորությունը 5 սմ է: 

5-4=1

4)Գծիր տրված O և B կենտրոններով մեկ ընդհանուր կետ ունեցող շրջանագծեր, որոնց շառավիղները հավասար են՝ r₁=28 սմ և r₂=10 սմ:

Հաշվիր OB հեռավորությունը:

1)Լուծե՛ք անհավասարումների համակարգը․

ա)

(5;8]

բ)

Լուծում չունի

գ)

[5;6)

դ)

Լուծում չունի

ե)

x-2

2)Լուծե՛ք անհավասարումների համակարգը․

ա)

(0;10/3)

բ)

(-∞;-1)

3)Լուծե՛ք անհավասարումների համակարգը․

ա)

(0;+∞)

բ)

(-∞;-8)

գ)

[1;2]

դ)

(3;+∞)

ե)

Լուծում չունի

4)Լուծե՛ք անհավասարումների համակարգը․

ա)

Լուծուք չունի

բ)

[2;7)

Անհավասարումների համակարգը բաղկացած է մեկ կամ մի քանի անհավասարումներից: Այդ անհավասարումները միավորվում են ձևավոր փակագծով: Պետք է գտնել այդ անհավասարումների բոլոր ընդհանուր լուծումները: 

Փոփոխականի այն արժեքները, որոնց դեպքում համակարգի անհավասարումներից յուրաքանչյուրը վերածվում է ճիշտ անհավասարության, կոչվում են անհավասարությունների համակարգի լուծումներ: 

Գծային անհավասարումների համակարգը լուծելու համար, պետք է լուծել համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարումը և այնուհետև գտնել ստացված լուծումների բազմությունների ընդհանուր մասը (հատումը): Դա էլ հենց կլինի համակարգի բոլոր լուծումների բազմությունը:

Լուծել համակարգը՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները:

Օրինակ․

Լուծենք հետևյալ համակարգը՝ 

{2x−1>3

{3x−2<11

1. Լուծելով առաջին անհավասարումը, ստանում ենք՝

2x>4

x>2

2. Լուծելով երկրորդ անհավասարումը, ստանում ենք՝

3x<13

x<13/3

3. Ստացված միջակայքերը նշենք թվային առանցքի վրա: Յուրաքանչյուրի համար ընտրենք իր նշումը:

4. Անհավասարումների համակարգի լուծումը թվային առանցքի վրա նշված երկու բազմությունների հատումն է:

Մեր դեպքում ստանում ենք այս պատասխանը՝ (2;13/3)

Առաջադրանքներ․
1)Կոորդինատային ուղղի վրա նշեք անհավասարումների համակարգի բոլոր լուծումները (եթե դրանք գոյություն ունեն)․

x€(3;+∞)

x€(1;+∞)

x€(-∞;2)

x€(-∞;-5)

x€(-7;-5)

x€(-5;0)

x€(4;+∞)

x€(-3;+∞)

x€(-∞;-1)

x€(-∞;-16)

Լուծեք անհավասարումը․

ա) x + 4 > 5x

x-5x<-4

x<1

(-∞;1)

բ) x — 2 < 3x

4x>2

x>-1

(-1;+∞)

գ) 2 + 1 < x

x<3

(-∞;3)

դ) 7x — 13 >9x

7x-9x<13

-2x<13

2x<-13

x<6.5

(-∞;6.5)

ե) 2x — x — 1 < 2

x<3

(-∞;3)

զ) 5x — 2x — 8x + x — 12x > 7 — 2x

-14x>7

x<-0.5

(-∞;-0.5)

է) 3 < 7x — 5 — 4x

-3x<-8

x>8/3

(8/3;+∞)

ը) 8 — 9x > x — 3 — 3x + 4x +15

-11x>4

x<4/-11

(-∞;4/-11)

թ) x — 2 < x

(-∞;+∞)

ժ) 6 — 3x > 1 — 3x

(-∞;+∞)

ի) x + 5 > x

(-∞;+∞)

լ) 12 + 4x < 3 — x + 5x
լուծում չկա

խ) x + 2 < x

2x<2

x>-2

(-2;+∞)

ծ) x — 5 > x

2x>5

x>5/2

(-5/2;+∞)

կ) 4 — 8x < — 8x + 4
լուծում չունի

հ) x — 3 + 2x < 4 + 3x — 1