Category: Երկրաչափություն 8

Պրիզմա կոչվում է այն բազմանիստը, որի երկու նիստերը զուգահեռ հարթություններում ընկած հավասար բազմանկյուններ են, իսկ մնացած նիստերը զուգահեռագծեր են:

Զուգահեռ հարթություններում գտնվող հավասար նիստերը կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր:

Հիմքերից կախված պրիզմաները լինում են եռանկյուն՝

քառանկյուն՝

վեցանկյուն և այլն

Եթե պրիզմայի կողմնային կողերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա այն կոչվում է ուղիղ պրիզմա: Այդպիսին են վերևի նկարներում ցուցադրված բոլոր պրիզմաները:

Հակառակ դեպքում, երբ կողմնային կողերը ուղղահայաց չեն հիմքերին, պրիզման կոչվում է թեք:

Պրիզման կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա հիմքերը կանոնավոր բազմանկյուններ են:

n-անկյուն պրիզման ունի 3n կող, 2n գագաթ, n+2 նիստ, ընդ որում՝ նիստերից 2-ը հիմքերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը։

Առաջադրանքներ․

1)Քանի՞ նիստ ունի յոթանկյուն պրիզման:
7+2=9

2)Գտեք վեցանկյուն պրիզմայի կողերի, գագաթների, նիստերի թվերը:
կողմեր6*3=18 գագաթներ6*2=12 նիստեր6+2=8

3)Կարո՞ղ է պրիզմայի կողերի թիվը լինել՝
ա) 13
ոչ
բ) 14
ոչ
գ) 18
այո

4)Ի՞նչ բազմանկյուն է պրիզմայի հիմքը, եթե պրիզման ունի 
ա) 18 կող
6 անկյուն
բ) 24 կող
8 անկյուն
գ) 9 նիստ
7 անկյուն

5)Կարո՞ղ է պրիզմայի նիստերի թիվը լինել՝
ա) 13
այո
բ) 14
այո
գ) 18
այո

6)Պրիզմայի գագաթների և կողերի թվերի գումարը 30 է: Քանի՞ նիստ,կող և գագաթ ունի այդ պրիզման:
5n=30
n=6
նիստ=8
կող=18
գագաթ=12

Բուրգի մասին դուք նախնական տեղեկություններ ունեք: Հին աշխարհի յոթ հրաշալիքներից են Եգիպտական բուրգերը:

Բուրգն այն բազմանիստն է, որի նիստերից մեկը բազմանկյուն է, իսկ մյուս բոլոր նիստերն ընդհանուր գագաթով եռանկյուններ են:

Բազմանկյունը կոչվում է բուրգի հիմք, իսկ նույն գագաթով եռանկյունները՝ կողմնային նիստեր: Բուրգի գագաթից հիմքի հարթությանն իջեցված ուղղահայացը կոչվում է բուրգի բարձրություն:

Եթե բուրգի հիմքը n-անկյուն բազմանկյուն է, ապա բուրգն անվանում են n-անկյուն բուրգ:

n-անկյուն բուրգն ունի 2n կող, որոնցից n-ը հիմքի կողերն են, իսկ n-ը՝ կողմնային կողերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 նիստ, որոնցից 1-ը հիմքն է, իսկ n-ը՝ կողմնային նիստերը:

n-անկյուն բուրգն ունի n+1 գագաթ, որոնցից 1-ը բուրգի գագաթն է, իսկ n-ը՝ հիմքի գագաթներն են:

Առաջադրանքներ․
1)Բերված մարմիններից ո՞րն է բուրգը:

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

զ)

Ե֊ն

2)Քանի՞ նիստ ունի իննանկյուն բուրգը:

n+1=8+1=10

3)Գտեք 8-անկյուն բուրգի կողերի, նիստերի և գագաթների թվերը։

Կող֊2n=16, նիստ֊n+1=9, գագաթ֊n+1=9

4)Գտիր 45-անկյուն բուրգի կողերի թիվը:

2n=90

5)Ինչպե՞ս է կոչվում բուրգը, եթե այն ունի՝

ա)13 նիստ

12 անկյուն

բ)10 գագաթ

9 անկյուն

գ)12 կող

6 անկյուն

6)Կարո՞ղ է լինել այնպիսի բուրգ, որն ունի՝

ա)9 նիստ

Այո

բ)9 կող

Ոչ

7)Քառանկյուն բուրգի հիմքը 64 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային նիստերը հավասարակողմ եռանկյուններ են։Գտեք բուրգի կողմնային կողերը։
64 : 4 = 16

Երկրաչափության այն բաժինը, որը ուսումնասիրում է պատկերների հատկությունները տարածության մեջ, կոչվում է տարածաչափություն: Այն պատկերը, որի ոչ բոլոր կետերն են ընկած միևնույն հարթության մեջ, կոչվում է տարածական պատկեր:

Զուգահեռանիստի սահմանումն ու հատկությունները.

Զուգահեռանիստ  կոչվում է այն բազմանիսը, որի բոլոր 6 նիստերը զուգահեռագծեր են:

Բազմանկյունները, որոնցից կազմված է բազմանիստի մակերևույթը, կոչվում են նիստեր: Նիստերի կողմերը կոչվում են բազմանիստի կողեր: Կողերի ծայրակետերը կոչվում են բազմանիստի գագաթներ:

Զուգահեռանիստն ունի 6 նիստ, 8 գագաթ և 12 կող:

Զուգահեռանիստի ընդհանուր կող ունեցող նիստերը կոչվում են կից, իսկ ընդհանուր կողեր չունեցող նիստերը՝ հանդիպակաց:

Զուգահեռանիստի հիմքեր անվանում են նրա որևէ երկու հանդիպակաց նիստերը, իսկ մնացած նիստերը՝ կողմնային նիստեր: 

Հիմքերին չպատկանող կողերը կոչվում են զուգահեռանիստի կողմնային կողեր: 

Նույն նիստում չգտնվող երկու գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է զուգահեռագծի անկյունագիծ: 

Գոյություն ունեն զուգահեռանիստերի երկու տեսակ՝

— ուղիղ,

— թեք:

Ուղիղ զուգահեռանիստերի կողմնային նիստերը ուղղանկյուններ են:

Թեք զուգահեռանիստի կողմնային նիստերը զուգահեռագծեր են:

Ուղիղ զուգահեռանիստը, որի հիմքերը ևս ուղղանկյուններ են, կոչվում է ուղղանկյունանիստ:

Այն ուղղանկյունանիստը, որի բոլոր կողերը հավասար են, կոչվում է խորանարդ:

Զուգահեռանիստի հատկությունները:

— Զուգահեռանիստի հանդիպակաց նիստերը զուգահեռ են և հավասար:

— Զուգահեռանիստի բոլոր չորս անկյունագծերը հատվում են միևնույն կետում և այդ կետում կիսվում են: 

— Ուղիղ զուգահեռանիստերի կողմնային նիստերը ուղղանկյուններ են: 

Առաջադրանքներ․

1)

ա)

BC=B1C1=5
A1B1=AB=4
AB=DC=4
բ)

AD=BC=c
A1A=C1C=b
BA=CD=a

2)

48:12=4

3)

32:4=8
8*12=96

1)Ո՞ր պատկերն է կոչվում բազմանկյուն։ Գծե՛ք բազմանկյուն, ցույց տվեք գագաթը, կողմերը։

2)Ո՞ր բազմանկյուններն են կոչվում ուռուցիկ։ Գծե՛ք ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ բազմանկյուններ, ցույց տվեք անկյունները։

3)Գրեք ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարի հաշվման բանաձևը։

4)Ինչի՞ է հավասար ուռուցիկ հնգանկյան անկյունների գումարը։

5)Սահմանեք զուգահեռագիծը։ Զուգահեռագիծը արդյո՞ք ուռուցիկ քառանկյուն է։

6)Ի՞նչ է եռանկյան միջին գիծը։ Գծե՛ք եռանկյուն, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման բանաձևը։ ։

7)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում սեղան։ Ինչպե՞ս են կոչվում սեղանի կողմերը։

8)Ո՞ր սեղանն է կոչվում հավասարասրուն, ո՞րը՝ ուղղանկյուն։ Գծեք օրինակներ։

9)Ի՞նչ է սեղանի միջին գիծը։ Գծե՛ք սեղան, տարե՛ք միջին գիծը և գրեք միջին գծի հաշվման բանաձևը։

10)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում ուղղանկյուն։

11)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում շեղանկյուն։

12)Ո՞ր քառանկյունն է կոչվում քառակուսի։

1)Տրված է ABCD ուղղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել ABF անկյունը։

Պատ. ` 20

2)Տրված է ABCD քառակուսի, PK=5սմ, AK=4։ Գտնել քառակուսու պարագիծը։

Պատ. ՝ 28

3)Տրված է ABCD շեղանկյուն։Հաշվել ABC անկյունը։

Պատ. 70

4)Տրված է ABCD ուղղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել ուղղանկյան պարագիծը։

5)Տրված է ABCD շեղանկյուն։ Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել CBE անկյունը։

<CBE = 90 — 75 = 15

6)Տրված է ABCD շեղանկյուն: Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել MD+DN-ը։

Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Շեղանկյան հատկությունները․

Քանի որ շեղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Շեղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=BC=CD=AD (քանի որ հավասար են բոլոր կողմերը):

2. Շեղանկյան հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝ ∢A=∢C, ∢B=∢D:

3. Շեղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

4. Շեղանկյան կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է՝ ∢A+∢D=180°

Միայն շեղանկյանը բնորոշ հատկություններ.

5. Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ AC⊥BD

6. Շեղանկյան անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են (անկյունները կիսում են)

7. Անկյունագծերը շեղանկյունը բաժանում են չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների՝ ABO, CBO, CDO, ADO եռանկյունները հավասար ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

Քառակուսի է կոչվում այն ուղղանկյունը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Քառակուսու հատկությունները․

1. Քառակուսու բոլոր կողմերը հավասար են՝ AB=BC=CD=AD:

2. Քառակուսու բոլոր անկյունները 90° են:

3. Քառակուսու անկյունագծերը հավասար են և հատման կետով կիսվում են՝ BD=AC; BO=OD=AO=OC:

4. Քառակուսու անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ BD⊥AC:

5. Քառակուսու անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են՝ ∢ABD=∢DBC=∢BCA=…=45°:

6. Անկյունագիծը քառակուսին բաժանում է չորս հավասար հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունների:  

Առաջադրանքներ․

1)Քառակուսու անկյունագծերի հատման կետից մինչև կողմերը եղած հեռավորությունների գումարը 20 սմ է։ Գտեք քառակուսու պարագիծը։

2)Շեղանկյան անկյուններից մեկը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Հաշվիր շեղանկյան անկյունները:

3)Հաշվիր շեղանկյան սուր անկյունը, եթե նրա երկու անկյունների տարբերությունը 18° է:

4)Հաշվիր շեղանկյան բութ անկյունը, եթե նրա անկյունագծերից մեկը կողմի հետ կազմում է 31° -ի անկյուն:

5)Շեղանկյան սուր անկյունը հավասար է 60°, իսկ պարագիծը 48 մ է: Հաշվիր շեղանկյան փոքր անկյունագիծը:

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը)․

1)Քառակուսու պարագիծը 72 սմ է: Հաշվիր քառակուսու կողմը:

2)Հաշվիր շեղանկյան պարագիծը, եթե նրա կողմի երկարությունը 4.45 դմ է:

3)Տրված է՝ OD=3 սմ, AC=14 սմ: Գտիր BD-ն և AO-ն:

4)Հաշվիր շեղանկյան մյուս անկյունները, եթե A անկյունը 67° է:

5)Հոկտեմբեր ամսվա մաթեմատիկական ֆլեշմոբ․

1)AD մեծ հիմքով ABCD սեղանի AC անկյունագիծը ուղղահայաց է CD սրունքին, <BAC = <CAD։ Գտեք AD-ն, եթե սեղանի պարագիծը 20 սմ է, իսկ <D = 60^o։

P=20

x+x+x+2x=20

5x=20

x=20:5=4

4×2=8

2)M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղի մի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 22սմ։ Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից։

10+22=32

32:2=16

3)Ուղղանկյուն սեղանի մեջ սուր անկյունը 45^o է։ Փոքր սրունքը և փոքր հիմքը 10-ական սմ են։ Գտեք սեղանի մեծ հիմքը։

20

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Տրված է BE II CD, գտնել <ABC,<C,<D:

180-40=140

180-140-75=65

180-65=115

180-115=65

180-65=115

2)Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել AD կողմը։

20

1)AD մեծ հիմքով ABCD սեղանի AC անկյունագիծը ուղղահայաց է CD սրունքին, <BAC = <CAD։ Գտեք AD-ն, եթե սեղանի պարագիծը 20 սմ է, իսկ <D = 60^o։

P=20

x+x+x+2x=20

5x=20

x=20:5=4

4×2=8

2)M և N կետերը գտնվում են տրված ուղղի մի կողմում, և նրանց հեռավորությունները այդ ուղղից հավասար են 10սմ և 22սմ։ Գտեք MN հատվածի միջնակետի հեռավորությունը այդ ուղղից։

10+22=32

32:2=16

3)Ուղղանկյուն սեղանի մեջ սուր անկյունը 45^o է։ Փոքր սրունքը և փոքր հիմքը 10-ական սմ են։ Գտեք սեղանի մեծ հիմքը։

20

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Տրված է BE II CD, գտնել <ABC,<C,<D:

180-40=140

180-140-75=65

180-65=115

180-115=65

180-65=115

2)Ըստ գծագրի տվյալների հաշվել AD կողմը։

20

1)Հավասարասրուն սեղանի սրունքը հավասար է փոքր հիմքին և մեծ հիմքից փոքր է 2 անգամ։ Գտե՛ք սեղանի պարագիծը, եթե փոքր հիմքը 7սմ է։

7×2=14

14+7+7+7=35

2)ABCD հավասարասրուն սեղանի C գագաթից AD մեծ հիմքին տարված է CK ուղղահայացը։ Գտե՛ք սեղանի հիմքերը, եթե դրանց գումարը 18սմ է, իսկ KD=1սմ։

8սմ

10սմ

3)Հավասարասրուն սեղանի անկյունագիծը կիսում է դրա բութ անկյունը։ Սեղանի փոքր հիմքը 3սմ է, իսկ պարագիծը՝ 42սմ։ Գտե՛ք սեղանի մեծ հիմքը։

42-3=39

39:3=13

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Գտե՛ք 13սմ և 19սմ հիմքերով սեղանի միջին գիծը։

13+19=32

32:2=16

2)Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը երկու անգամ մեծ է փոքր հիմքից։Սեղանի անկյունագիծը դրա սուր անկյունը բաժանում է հավասար մասերի։ Գտե՛ք սեղանի փոքր հիմքը, եթե սեղանի պարագիծը 60սմ է։

60:5=12

12×2=24

3)Գտե՛ք սեղանի հիմքերի երկարությունները, եթե դրանց տարբերությունը 7սմ է, իսկ սեղանի միջին գիծը 12սմ է։

12×2=24

x+x+7=24

24-7=17

17:2=8,5

8,5+7=15,5

1)Գտեք հավասարասրուն սեղանի անկյունները, եթե հայտնի է, որ սեղանի երկու անկյունների տարբերությունը 40^o  է։

110,70, 110, 70

2)Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 4մ է, սրունքը՝ 2մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60^o ։ Գտեք սեղանի փոքր հիմքը։

2մ

3)Սեղանի հիմքերը հարաբերում են, ինչպես 2:3, իսկ միջին գիծը 10սմ է։ Գտեք սեղանի հիմքերը։

10×2=20

4×2=8

4×3=12

Լրացուցիչ աշխատանք (տանը).

1)Գտեք AD և BC հիմքերով սեղանի B և D անկյունները, եթե < A = 36^o, < C = 117^o։

<B=180-36=144

<D=180-117=63

2)Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացն այդ հիմքը տրոհում է 6սմ և 30սմ երկարությամբ հատվածների։ Գտեք սեղանի փոքր հիմքը և միջին գիծը։

36+24=60

60:2=30