Category: Երկրաչափություն 9

1)Տրված են a և b վեկտորները: Կառուցե՛ք հետևյալ վեկտորները.

ա) 2a

բ) — 2a

գ) 1/3a

դ) 3b

ե)-1/2b

զ) -4b

2)Պարզեցրեք արտահայտությունները.
ա) 3(a + b) — 2(a — b )

3a+3b-+2a-3b=a+5b
բ) 4a + 5b — 2(a + 2b )

4a+5b-2a-2b=2a-3b
գ) 1/3(a + b) + 2/3(a — b)

1/3a+1/3b+2/3a-2/3b=a-1/3b

3)Համուղղված են, թե՞ հակուղղված a և b ոչ զրոյական վեկտորները, եթե.
ա) b = 2a

համուղղված
բ) b = -3a

հակուղղված
գ) a = 1/3b

համուղղված
դ)a = -1/2b

հակուղղված

4)Գտե՛ք b վեկտորի մոդուլը, եթե |a| = 6 սմ.
ա) b = 4a

24
բ) b = -3a

18
գ)b = 1/3a

2

1)Թվարկված նկարներից որո՞ւմ է ցուցադրված i և  վեկտորների գումարը եռանկյան կանոնով:

1

2)Նայիր հետևյալ նկարին՝

Ընտրիր ճիշտ հավասարությունը:
Վեկտոր g = i +h
Վեկտոր i = h + g
Վեկտոր h = i +g

3)Տրված է TUVZ սեղանը: Ո՞ր վեկտորն է հավասար այս վեկտորների գումարին՝ UT+TZ գումարումը եռանկյան կանոնով կատարելիս:

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

ա)ZV
բ)UZ
գ)ZU
դ)TV

4)Տրված է հետևյալ սեղանը: Կատարիր BA+AD գումարումը:

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

ա)CD
բ)BD
գ)AC

5)Օգտվելով եռանկյան կանոնից՝ կառուցե՛ք a և b վեկտորների գումարը:

6)Գծե՛ք ABCDEF վեցանկյուն: Կառուցեք հետևյալ վեկտորները. AC + CE և AD+DF:

Ֆիզիկական մեծությունների մի մասը բնութագրվում է միայն թվային արժեքով, մյուսները, բացի թվային արժեքից, բնութագրվում են նաև ուղղությամբ: Առաջինները կոչվում են սկալյար մեծություններ, իսկ երկրորդները՝ վեկտորական մեծություններ:
Սկալյար մեծություններ են, օրինակ, ժամանակը, զանգվածը, անցած ճանապարհը, ճնշումը և այլն: Վեկտորական մեծություններ են տեղափոխությունը (S), արագությունը ( V ), արագացումը ( a ), ուժը (F) և այլն: Վեկտորական մեծությունները (կամ վեկտորները) նկարում պատկերվում են ուղղություն ունեցող հատվածներով: Հատվածին ուղղություն վերագրելու համար դրա ծայրակետերից մեկը ընդունվում է որպես սկիզբ (սկզբնակետ), իսկ մյուսը՝ որպես վերջ (վերջնակետ), ապա սկիզբը սլաքով միացվում է վերջին:
Սլաքը ցույց է տալիս այդ վեկտորի ուղղությունը, իսկ հատվածի երկարությունը` վեկտորի թվային արժեքը (ընտրված մասշտաբին համապատասխան):

Սահմանում։ Հատվածը, որի ծայրակետերից մեկը ընտրված է որպես սկիզբ, իսկ մյուսը՝ որպես վերջ, կոչվում է ուղղորդված հատված կամ վեկտոր։
Վեկտորները նշանակում են վերևում սլաք ունեցող լատիներեն երկու մեծատառերով, որոնցից առաջին տառը վեկտորի սկիզբն է, երկրորդը՝ վերջը, օրինակ

Վեկտորները նշանակվում են նաև լատիներեն մեկ փոքրատառով, օրինակ,

Սահմանում։ Վեկտորը, որի վերջն ու սկիզբը համընկնում են, կոչվում է զրոյական վեկտոր։Զրոյական վեկտորը պատկերվում է մեկ կետով: Եթե զրոյական վեկտորի սկիզբն ու վերջը A կետն է, ապա այն նշանակում են

կամ

Սահմանում: Ոչ զրոյական AB վեկտորի երկարություն կամ մոդուլ՝ AB, կոչվում է AB հատվածի երկարությունը։

Իսկ ինչպես պարզել՝ նո՞ւյնն են վեկտորների ուղղությունները, թե՞ տարբեր:
Սահմանում։ Երկու վեկտոր կոչվում են համագիծ, եթե դրանք միևնույն ուղղի կամ զուգահեռ ուղիղների վրա են, հակառակ դեպքում դրանք կոչվում են տարագիծ։ Կհամարենք, որ զրոյական վեկտորը համագիծ է ցանկացած վեկտորի։

Նկարում

վեկտորները համագիծ են, իսկ օրինակ՝

վեկտորները տարագիծ են: MM զրոյական վեկտորը համագիծ է բոլոր վեկտորներին:
Ոչ զրոյական համագիծ վեկտորները կարող են ունենալ նույն ուղղությունը կամ հակառակ ուղղություններ: Առաջին դեպքում ասում են, որ վեկտորները համուղղված են, իսկ երկրորդ դեպքում՝ հակուղղված են:

Նկարում AB և CD վեկտորները համուղղված են, իսկ CD և EF վեկտորները՝ հակուղղված:

գրառումը նշանակում է, որ a և b վեկտորները համուղղված են, իսկ

գրառումը նշանակում է, որ a և b վեկտորները հակուղղված են:
Զրոյական վեկտորը համարվում է համուղղված ցանկացած վեկտորի։

Զրոյական վեկտորը համարվում է համուղղված ցանկացած վեկտորի։
Սահմանում: Համուղղված և հավասար երկարություն ունեցող վեկտորները կոչվում են հավասար վեկտորներ։

a և b վեկտորների հավասարությունը գրվում է այսպես՝

Ցանկացած M կետից կարելի է տեղադրել տրված AB վեկտորին հավասար վեկտոր, ընդ որում՝ միայն մեկը։

Եթե AB վեկտորը զրոյական վեկտոր է, ապա MM վեկտորը որոնելի վեկտորն է: Ենթադրենք՝ AB վեկտորը ոչ զրոյական է: Որոնելի վեկտորը պիտի համուղղված լինի AB վեկտորին: Հետևաբար այն կարող է գտնվել կամ AB ուղղի կամ AB ուղղին զուգահեռ ուղղի վրա: M կետով տանենք AB ուղղին զուգահեռ m ուղիղը: Եթե M կետը պատկանում է AB ուղղին, ապա որպես m ուղիղ կվերցնենք AB ուղիղը:

m ուղղի վրա M կետից կարելի է տեղադրել AB հատվածին հավասար
երկու հատված: Թող դրանք լինեն MK և ML հատվածները: MK և ML հակուղղված վեկտորներից մեկը, և միայն մեկը, համուղղված է AB
վեկտորին: Հենց դա էլ կլինի որոնելի և միակ վեկտորը:

Առաջադրանքներ․

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)Գծեք AB, CD և EF վեկտորներն այնպես, որ՝

ա) AB, CD և EF վեկտորները լինեն համագիծ

բ) AB և EF վեկտորները լինեն համագիծ, իսկ AB և CD վեկտորները համագիծ չլինեն

Վեկտորներ

1)Հեռավորությունը կետերի միջև.

2)Շրջանագծի հավասարումը․

(x−x₀)² + (y−y₀)² = R²

3)ՈՒղղի հավասարումը․

(x — x₁)/(x₂ — x₁) = (y — y₁)/(y₂ — y₁)

ax + by + c = 0

Առաջադրանքներ․

1)Տրված են A(0;-1), B(0;1) և C(1;2) կետերը։

ա)Որ քառորդին են պատկանում A, B, C կետերը։

A-օրդինատների առանցք, B-օրդինատների առանցք, C-I քռորդ

բ)Գտնել B և C կետերի հեռավորությունը։

dBC=√(1-0)²+(2-1)²

dBC=√2

գ)Կազմել B կենտրոնով այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է C կետով։

(x-0)²+(y-1)²=R²=x²+(y-1)²=R²

(1-0)²+(2-1)²=R²

R²=2

R=√2

դ)Կազմել A և C կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։

(x-0)/(1-0)=(y+1)/(2+1)

x=y+1/3

3x-y-1=0

2)Տրված են A(2;3), B(1;4) և C(2;5) կետերը։

ա)Որ քառորդին են պատկանում A, B, C կետերը։

A-I քառորդ, B-I քառորդ, C-I քառորդ

բ)Գտնել B և C կետերի հեռավորությունը։

dBC=√(2-1)²+(5-4)²

dBC=√1+1=√2

գ)Կազմել B կենտրոնով այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է C կետով։

(x-1)²+(y-4)²=R²

(2-1)²+(5-4)²=R²=1+1=R²

R²=2

R=√2

դ)Կազմել A և C կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։

(x-2)/(2-2)=(y-3)/(5-3)

x-2=0

3)Տրված են A(2;3), B(-1;4) և C(0;2) կետերը։

ա)Որ քառորդին են պատկանում A, B, C կետերը։

A-I, B-II, C-զրոների առանցք

բ)Գտնել B և C կետերի հեռավորությունը։

dBC=√(0-2)²+(2-3)²=√4+1=2+1=3

գ)Կազմել B կենտրոնով այն շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է C կետով։

(0+1)²+(2-4)²=5=R²

R=√5

դ)Կազմել A և C կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։

A(2;3), C(0;2)

(x-2)/(0-2)=(y-3)/(2-3)

x-2/-2=y-3/-1

1)Oxy հարթության վրա շրջանագիծը տրված է հետևյալ հավասարումով.

ա) x² +y² =36,

բ) (x — 3)² + (y — 5)² = 25

Ինչի՞ են հավասար շրջանագծի կենտրոնի կոորդինատները և շառավիղը:

(0;0)

R=6

(3;5)

R=5

2)Շրջանագիծը տրված է (x + 4)² + (y — 3)² = 2, 56 հավասարումով: Նշե՛ք, թե (-4, 4), (-2, 1), (-2, 3), (-5, 4) կետերից որոնք են ընկած`

ա) շրջանագծի վրա,

բ) տրված շրջանագծով եզերված շրջանի ներսում,

(-4;4)

(-5;4)

գ) տրված շրջանագծով եզերված շրջանից դուրս:

(-2; 1)

(-2; 3)

3)Գրե՛ք r շառավիղով և O կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը, եթե`

ա) r = 1 Օ(0, -7),

x²+(y+7)²=1

բ) r = 5 O(1, -2)

(x-1)²+(y+2)²=25

գ) r = 0,5 Օ(-3, -7)

(x+3)²+(y+7)²=0.25

4)Գրե՛ք այն շրջանագծի հավասարումը, որի կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է, և որն անցնում է՝

ա) (1, 2)

1+4=5

x²+y²=5

բ) (-3, 5),

9+25=34

x²+y²=34

գ) (4, -3) կետով

16+9=25

x²+y²=25

5)Գրե՛ք M կենտրոնով և N կետով անցնող շրջանագծի հավասարումը, եթե՝

ա) M(−1, 2), N(0, 5),

(0+1)²+9=r²

r²=10

(x+1)+(y-2)²=10

բ) M(0, 3), N(-2, 6):

1)Գրե՛ք 7 շառավղով շրջանագծի հավասարումը, եթե դրա կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է:
x²+y²=7²=49

2)Գրեք A(-2; 3) կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է B(1; 2) կետով:

(X-x0)²+(y-y0)²=R²

3)Գտե՛ք O(3;1) կենտրոնով և A (6; -3) կետով անցնող շրջանագծի շառավիղը:

(6-3)2+(-3-1)2=25

R=5

4)Ինչի՞ է հավասար (x — 11)2 + (y + 24)2 = 36 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի տրամագիծը:

12

5)Գրե՛ք A(2; — 1) կենտրոնով և R = 4 շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

(x-2)2+(y+1)2=16

6)A(2; 3), B(3; 4), C(5; 0), D(-4; 5), E(-3; 4) կետերից որոնք են գտնվում x2+ y2 = 25 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի վրա:

3²+4²=9+16=25

5²+0²=25+0=25

-3²+4²=9+16=25

7)Գրե՛ք AB տրամագծով շրջանագծի հավասարումը, եթե A(3; 5), B(7; 3):

(7-5)2+(3-4)2=4+1=5

1)Գտեք ABCD զուգահեռագծի D գագաթի կոորդինատները, եթե A(0, 0) B(5, 0) C(12,- 3):

12-5

(7;-3)

2)Գտեք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե`

ա) A(2, 7), B(-2, 7),
dAB=√(-2-2)²+(7-7)² =√16=4

բ) A(-5, 1), B(-5, -7),

dAB=√(-5+5)²+(-7-1)²=√64=8

գ) A(-3, 0), B(0, 4),

dAB=√(0+3)²+(4-0)²=√25=5

դ) Α(0, 3), B(-4, 0):

dAB=(-4-0)²+(0-3)²=√25=5

3)Գտեք MNP եռանկյան պարագիծը, եթե M(4, 0), N(12, -2), P(5, -9):

dMN=√(12-4)²+(-2-0)²=√68

dMP=√(5-4)²+(-9-0)²=√82

dNP=√(5-12)²+(-9+2)²=√98

P=√68+√82+√98

4)Տրված են A(-2;1), B(1; 5), C(7;5), D(4;1) կետերը: Գտեք ABCD քառանկյան անկյունագծերը և պարագիծը:
AB=√(1+2)²+(5-1)²=√25=5

BC=√(7-1)²+(5-5)²=√36=6

DA=√(-2-4)²+(1-1)²=√36=6

CD=√(4-7)²+(1-5)²=√25=5

P=5+5+6+6=22

BD=√(4-1)²+(1-5)²=√25=5

AC=√(7+2)²+(5-1)²=√97

5)Ապացուցեք, որ A(1; 7), B(-1; — 1), C(-4; 2) գագաթներով ABC եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտե՛ք այդ եռանկյան ներք– նաձիգին տարված միջնագիծը:

AB=√(-1-1)²+(-1-7)²=√68

BC=√(-4+1)²+(2+1)²=√18

AC=√(-4-1)²+(2-7)²=√50

√18+√50=√68

6)Գտե՛ք A(1; — 2), B(3; 5), C(8; 0) գագաթներով ABC հավասարասրուն եռանկյան մակերեսը:
AB=√(3-1)²+(5+2)²=√53

BC=√(8-3)²+(0-5)²=√50

AC=√(8-1)²+(0+2)²=√53

1)Գտե՛ք A և B ծայրակետերով հատվածի միջնակետի կոորդինատները, եթե

ա) A(2; 3), B(-2; 1)

0;2

բ) A(1; 8), B(5; 5)

3;6.5

2)Գտե՛ք AB հատվածի B ծայրակետի կոորդինատները, եթե C(2; — 1) կետը այդ հատվածի միջնակետն է, իսկ A ծայրակետը ունի (3; 5) կոորդինատները:
1;-7

3)Գտե՛ք B կետի կոորդինատները, եթե այն A(3; −4) կետի համաչափն է կոորդինատների սկզբնակետի նկատմամբ:

-3;4
4)Գտե՛ք A(-2; 3) կետի` x-երի առանցքի նկատմամբ համաչափ B
կետի կոորդինատները:

-2;-3

5)Գտե՛ք C(7; 2) կետի՝ y-ների առանցքի նկատմամբ համաչափ D
կետի կոորդինատները:

-7;2

6)Ինչի՞ է հավասար A(2; — 3) կետի հեռավորությունը՝

ա) x-երի առանցքից

3

բ) y-ների առանցքից

2

գ) կոորդինատների սկզբնակետից

√13
7)Գտե՛ք A և B կետերի հեռավորությունը, եթե.

ա) A(1;-3), B(1; 2)

dKL=√(1-1)²+(2+3)²=√5²=√25=5

բ) A(2; 3), B(1; −1)

dKL=√(1-2)²+((-1-3 )²=√1+16=√17

գ) A(0; 2), B(4; -1)

dKL=√(4-0)²+√(-1-2)²=√(16+9)=5

8)Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A(8; 1), B(5; -3), C(11; -3)։

AB=√(5-8)²+(-3-1)²=√9+16=√25=5

BC=√(11-5)²+(-3-5)²=√

CA=√(11-8)²+√(-3-1)²=√(6+16)²=√484=22

P=7+2+22=31

9)Գտեք Ox առանցքի այն կետի կոորդինատները, որը գտնվում է A(5;3) կետից 5 հեռավորության վրա:

5;-3