Category: Հանրահաշիվ 9

Համակարգչային ծրագրերով գծելով y = √x ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ ստանում ենք հետևյալ պատկերը․

Նշենք գրաֆիկի որոշ առանձնահատկություններ և փորձենք բացատրել դրանք․
1)Գրաֆիկն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով։ Պատճառն այն է, որ x = 0 դեպքում y = √0 = 0։
2)Որոշման տիրույթը [0, +∞) բազմությունն է: Իսկապես, արմատատակ արտահայտությունը բացասական լինել չի կարող։
3)Բացի (0, 0) կետից, ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերը գտնվում են կոորդինատային հարթության առաջին քառորդում։ Իսկապես, x > 0 դեպքում y = √(x) > 0: ֆունկցիայի գրաֆիկի կետերի կոորդինատները դրական են:
4)Ֆունկցիան աճող է: Եթե x₂ > x₁ > 0, ապա √x₂ > √x₁, այսինքն՝ ֆունկցիայի արգումենտի մեծ արժեքին համապատասխանում է ֆունկցիայի մեծ արժեք:

y = √x ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կարող ենք կառուցել y = √(x-3) և y = √x — 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները: Եթե f(x) = √x, ապա y = √(x-3) բանաձևը կարող գրել այսպես` y = f(x — 3): Մենք գիտենք, որ f(x — 3) ֆունկցիայի գրաֆիկը ստանալու համար պետք է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը երեք միավորով տեղաշարժել աջ:

y = √x — 4 ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար բավական է նկատել, որ y = f(x) — 4 այսինքն՝ f(x)-ի գրաֆիկից 4 միավորով ներքև է:

Ինչպես պարաբոլի ու մոդուլի դեպքում, այստեղ ևս վերև/ներքև ու աջ/ձախ տեղաշարժերը հնարավոր է համատեղել։
Նկարում պատկերված է y = √(x+1) + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է f(x) = √(x — 2) + 1 ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) 6, բ) 2, գ) 4 կետում:
ա) x = 6
f(6) = √(6 − 2) + 1
f(6) = √4 + 1
f(6) = 2 + 1
f(6) = 3

բ) x = 2
f(2) = √(2 − 2) + 1
f(2) = √0 + 1
f(2) = 0 + 1
f(2) = 1

գ) x = 4
f(4) = √(4 − 2) + 1
f(4) = √2 + 1
Քանի որ √2 ≈ 1.41, ապա
f(4) ≈ 2.41

2)Տրված է f(x) = √(x + 1) ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) 0, բ) -1, գ) 8 կետում:
ա) x = 0
f(0) = √(0 + 1) = √1 = 1

բ) x = −1
f(−1) = √(−1 + 1) = √0 = 0

5)Նկարում պատկերված է y =√(x — x₀) + y₀ ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գտե՛ք x₀ և y₀ թվերը.

x=0 y=6

x=4, y=0

x=6 y=8

x=-12 y=6

x=-6 y=-14

x=6 y=-4

6)Կառուցե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.

ա) y = √(x) — 2

բ) y = √(x) + 3

գ) y = √(x + 5)

դ) y = √(x — 3) + 5

ե) y = √(x + 2) — 8

զ) y = — √(x — 10) + 6

1)Քանի՞ երկնիշ թիվ կա, որոնց թվանշանների գումարը կենտ է:
1) 44
3) 46
2) 45
4) 47

2)Գտնել բոլոր այն երկնիշ թվերի քանակը, որոնք հավասար են իրարից տարբեր 2 պարզ թվերի արտադրյալի, որոնցից մեկը 13-ն է:
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6

3)Քանի՞ վայրկյան է րոպեի 2/5-ը։
1) 12
2) 15
3) 24
4) 30

4)Քանի՞ անգամ 325,6 թիվը պետք է բազմապատկել 0,1-ով, որպեսզի ստացվի 0,03256:
1) 1
2) 4
3) 2
4) 3

5)Ջրի և աղի 300 գրամանոց խառնուրդում աղը 120 գրամ է: Ինչպե՞ս են հարաբերում աղի և ջրի քանակները:
1) 2:4
2) 3:2
3) 4:2
4) 2:3

6)Գտնել 3a4b²c միանդամի կարգը:
1) 2
2) 4
3) 5
4) 6

7)a³ — 3a² + a — 3 արտահայտությունը վերլուծել արտադրիչների:
1) (a — 3)(a² — 1)
2) (a + 3)(a² + 1)
3) (a — 3)(a² + 1)
4) (a + 3)(a² — 1)

8)A-ն միանիշ պարզ թվերի բազմությունն է։ Քանի՞ տարր ունի Z∩A բազմությունը:
1) 2
2) 3
3) 1
4) 4

9)Գտնել y = (x — 3)² + 1 պարաբոլի համաչափության առանցքի հավասարումը։
1) x = — 3
2) x = 3
3) x = — 1
4) x = 1

10)Գտնել x² — 2x — 5 = 0 հավասարման արմատների գումարը:
1) 5
2) -5
3) 2
4) -2

11)y = √x ֆունկցիայի վերաբերյալ ո՞ր պնդումն է ճիշտ:
1) Ֆունկցիան նվազող է։
2) Ֆունկցիայի գրաֆիկը x > 0 դեպքում դասավորված է Ox առանցքից ներքև:
3) Եթե 0 < x < 1 ապա x < √x:
4) Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը դրական թվերի բազմությունն է:

12)Քանի՞ եղանակով է հնարավոր 4 կապույտ և 4 սև գրիչներից ընտրել 1-ական կապույտ և սև գրիչ։
1) 12
2) 14
3) 16
4) 10

(13-15)Գտնել արտահայտության արժեքը:

13)

1) -0,25
2) -0,4
3) 0,25
4) 1/9

14)

1)2
2)3
3)-3
4)1

15)

1) 12
2) 2
3) 16
4) 8

(16-18) Հավասարումներ և անհավասարումներ:

16)Գտնել 3 + 2x > x + 1 անհավասարման լուծումների բազմությունը:
1) (-∞; -2)
2) (-2; +∞)
3) (-∞; 2)
4) (2; +∞)

17)Գտնել √(3x -2) ≤ 4 անհավասարման լուծումների բազմությունը:
1) [2/3; +∞)
2) (-∞; 6]
3)[2/3; 6]
4)[2/3; 14/3]

18)Լուծել x² + 5x — 6 < 0 անհավասարումը:
1) (-1; 6)
2) (-∞;-1)U(6; +∞)
3) (-6; 1)
4) (-∞; -6)U(1; +∞)

(19-20) Պրոգրեսիա
19)Գտնել (a_n) թվաբանական պրոգրեսիայի Տ₉ -ը, եթե a₃ + a₇ = 22 :
11
20) Գտնել (b_n) երկրաչափական պրոգրեսիայի b₁₀-ը, եթե (b₆)² ∙ b₁₈ = 125:
5

(21–22) Ավազանին միացված են երկու լցնող խողովակ: Առաջին խողովակով դատարկ ավազանը լցվում է 10 ժամում, իսկ երկրորդով՝ 15 ժամում։
21)Քանի՞ ժամում կլցվի դատարկ ավազանը, եթե երկու խողովակները բացեն միաժամանակ:
6

22)Առաջին խողովակը բացեցին 8 ժամով, այնուհետև փակեցին: Քանի՞ ժամ պետք է բացել երկրորդ խողովակը, որպեսզի ավազանը լցվի:
3

1)Գտե՛ք ֆունկցիայի զրոները.
ա) y = |x|
|x|=0
x=0

բ) y = |x + 2| — 8
|x+2|-8=0
|x+2|=8
x+2=8 x=6
x+2 x=-10

գ) y = — 2|x| — 4
զրոներ չունի

դ) y = 3|x — 1| — 6
x = 3, x = −1

ե) y = 0.5|x + 2| — 3
x = 4, x = −8

զ) y = — 5|x| + 10
x = 2, x = −2

2)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = |x + 1|
Գագաթ՝ (−1, 0)
բ) y = |x — 5|
Գագաթ՝ (5, 0)
գ) y = |x + 6|
Գագաթ՝ (−6, 0)
դ) y = |x — 3|
Գագաթ՝ (3, 0)

3)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = |x| + 1
Գագաթ՝ (0, 1)
բ) y = |x| + 4
Գագաթ՝ (0, 4)
գ) y = |x| — 3
Գագաթ՝ (0, −3)
դ) y= |x| — 1
Գագաթ՝ (0, −1)

4)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = |x — 1| + 1
Գագաթ՝ (1, 1)
բ) y = |x + 4| — 2
Գագաթ՝ (−4, −2)
գ) y = |x — 3| — 3
Գագաթ՝ (3, −3)
դ) y = |x + 6| — 1
Գագաթ՝ (−6, −1)

Ընտրենք y = f(x) ֆունկցիայի այն մասը, որը գտնվում է x-երի առանցքից ներքև և փոխարինենք x-երի առանցքի նկատմամբ իր համաչափով: Կստացվի y = |f(x)| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Այս պարզ կանոնի կիրառմամբ կարող ենք հեշտությամբ կառուցել y = |x| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Գրաֆիկն ունի գագաթ՝ (0,0) կետը, ինչպես նաև երկու ճյուղ՝ կոորդինատային հարթության առաջին և երկրորդ քառորդների կիսորդները: Այդ գրաֆիկն անվանում ենք մոդուլի գրաֆիկ։
Օգտագործելով ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժման կանոնները՝ կարող ենք կառուցել մոդուլի նշան պարունակող տարբեր ֆունկցիաների գրաֆիկներ։
Եթե f(x) = |x|, ուրեմն՝ f(x — 4) = |x — 4| և f(x) + 1 = |x| + 1: y = f(x — 4) ֆունկցիայի գրաֆիկը y = f(x) -ի գրաֆիկն է՝ 4 միավորով տեղաշարժված աջ, իսկ y= f(x) + 1 -ի գրաֆիկը՝ մեկ միավորով վերև: y = |x — 4| ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ ձգելով՝ կստանանք y = 2|x — 4| ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այն իր հերթին 3 միավորով վերև բարձրացնելով՝ կստանանք y = 2|x — 4| + 3-ի գրաֆիկը։

y = a|x — x₀| + y₀ ֆունկցիայի գրաֆիկը (x₀, y₀) գագաթով և y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգած մոդուլի գրաֆիկն է։ a > 0 դեպքում գրաֆիկի ճյուղերն ուղղված են վերև, իսկ a < 0 դեպքում՝ ներքև։

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է f(x) = |x — 1| ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) 2, բ) 0, գ) –2 կետում:
ա) x = 2
f(2) = |2 – 1| = |1| = 1

բ) x = 0
f(0) = |0 – 1| = |-1| = 1

գ) x = –2
f(-2) = |-2 – 1| = |-3| = 3

2)Տրված է f(x) = 2|x + 3| ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) – 5, բ) 1, գ) –3 կետում:
ա) x = –5
f(-5) = 2|-5 + 3| = 2|-2| = 2·2 = 4

բ) x = 1
f(1) = 2|1 + 3| = 2|4| = 2·4 = 8

գ) x = –3
f(-3) = 2|-3 + 3| = 2|0| = 0

3)Տրված է f(x) = |x — 4| ֆունկցիան: Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) 2, բ) 0, գ) -4, դ) 7 արժեքը:
ա) |x – 4| = 2
x – 4 = 2 կամ x – 4 = -2
x = 6 կամ x = 2

բ) |x – 4| = 0
x – 4 = 0
x = 4

գ) |x – 4| = -4
լուծում չունի

դ) |x – 4| = 7
x – 4 = 7 կամ x – 4 = -7
x = 11 կամ x = -3

4)Տրված է f(x) = |x + 9| ֆունկցիան: Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) 1, բ) 8, գ) -1, դ) 5 արժեքը:
ա) |x + 9| = 1
x + 9 = 1 կամ x + 9 = -1
x = -8 կամ x = -10

բ) |x + 9| = 8
x + 9 = 8 կամ x + 9 = -8
x = -1 կամ x = -17

գ) |x + 9| = -1
լուծում չունի

դ) |x + 9| = 5
x + 9 = 5 կամ x + 9 = -5
x = -4 կամ x = -14**

5)Նկարում պատկերված է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գծե՛ք y = |f(x)| ֆունկցիայի գրաֆիկը.

ա)

բ)

գ)

դ)

ե)

զ)

Գոյություն ունեն թվային վիճակագրական տվյալները նկարագրելու մի քանի պարամետր.

ա) Տվյալներից ամենամեծի և ամենափոքրի տարբերությունն անվանում են
լայնք:

բ)Ամենաշատ հանդիպող տվյալն անվանում են մոդ:

գ) Բոլոր տվյալների գումարի և քանակի հարաբերությունն անվանում են միջին թվաբանական:

Այժմ ծանոթանանք ևս մեկ վիճակագրական պարամետրի: Տվյալները դասավորենք աճման կարգով և դիտարկենք մեջտեղում գրված թիվը: Հնարավոր է երկու դեպք.
ԴԵՊՔ 1. Տվյալների քանակը կենտ է: Այդ դեպքում մեջտեղի դիրք կա: Մեջտեղում գրված թիվը կոչվում է այդ տվյալների մեդիան (միջնարժեք): 1, 1, 2, 5, 9, 9, 12 տվյալների մեդիանը 5-ն է:
ԴԵՊՔ 2. Տվյալների քանակը զույգ է։ Այդ դեպքում մեջտեղի դիրք չկա: Դիտարկենք մեջտեղին ամենամոտ երկու թվերը: Այդ թվերի միջին թվաբանականն այդ տվյալների մեդիանն է (միջնարժեքը)։ -4, 8, 14, 15, 15, 19 տվյալների մեդիանը (14 + 15)/2 = 14.5 :

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք թվային տվյալների լայնքը, մոդն (եթե ունի) ու մեդիանը.
ա) 2, 2, 2, 5, 5, 8, 10
լայնք=10-2=8
մոդը=2
մեդիա=5
բ) -5, 4, 2, 6, 6, 8, 8, 8
լայնք=8+5=13
մոդը=8
մեդիա=6
գ)-105, 12, 12, 250, 233, 205, 12
-05,12,12,12,205,233,250
լայնք=250+105=355
մոդը=12
մեդիա=12
դ) -20, -120, 0, 15, 7, 7, 120, 500
-120,-20,0,7,7,15,120,500
լայնք=500+120=620
մոդը=7
մեդիա=7

2)Հաշվե՛ք թվային տվյալների միջին թվաբանականն ու մեդիանը.
ա) 1, 3, 3, 5, 7
միջին թվաբանական = 3,8
մեդիա=3
բ) 5, 2, 1, -2, 7, -4
-4,-2,1,2,5,7
միջին թվաբանական = 9
մեդիա = 3/6
գ) 4,5,7,5,-8, 45
-8,4,5,5,7,45
միջին թվաբանական = 58
մեդիա = 5
դ) 2, 2, 8, 8, 8, 250, -120
-120,2, 2, 8, 8, 8, 250
միջին թվաբանական = 158/7
մեդիա =8
ե) 1, 1, 1, 1, 5, 5, -6, -10
-10,-6,1, 1, 1, 1, 5, 5
միջին թվաբանական = -2/8
մեդիա =1

3)Գտե՛ք թվային տվյալների միջինը, մոդը, մեդիանը և լայնքը.
ա) 0, 0, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10
Միջին = (0+0+5+5+10+10+10+10+10)/9 = 60/9 ≈ 6.67
Մոդ = 10 (հաճախ հանդիպող թիվը)
Մեդիան = 10 (կենտրոնական թիվը)
Լայնություն = 10 − 0 = 10
բ) 1, 1, 2, 2, 2, 19, 20, 21
Միջին = (1+1+2+2+2+19+20+21)/8 = 68/8 = 8.5
Մոդ = 2
Մեդիան = (2+2)/2 = 2
Լայնություն = 21 − 1 = 20
գ)-6, 6, 0, -3, 3
-6,-3,0,3,6
Միջին = (−6−3+0+3+6)/5 = 0
Մոդ = չկա (բոլոր թվերը մեկ անգամ են հանդիպում)
Մեդիան = 0 (կենտրոնական թիվը)
Լայնություն = 6 − (−6) = 12
դ) –10, 0, 0, 12, 13, 12, 12
–10, 0, 0, 12, 12, 12, 13
Միջին = (−10+0+0+12+12+12+13)/7 = 39/7 ≈ 5.57
Մոդ = 12
Մեդիան = 12
Լայնություն = 13 − (−10) = 23

4)Գտե՛ք a-ի թվային արժեքը, եթե հայտնի է, որ a, 1, 1, 2, 2, 4 բնական թվերի՝
ա) մոդը 2 է
2
բ) մեդիանը 1.5 է
0
գ) լայնքը 4 է
5
դ) միջինը 3
8
ե) մեդիանը մեծ է մոդից
3

1)Գտեք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին հինգ անդամների գումարը, եթե
ա)a₁ = 5, q = 2
155
բ)a₁ = 4, q = — 3
244
գ)a₁ = — 2, q = 1/2
31/8
դ)a₁ = — 1/3, q = — 2
−11/3

2){a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայի համար գտեք S₆-ը, եթե a₁ = 48, q = 1/2:
94.5

3){a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 14, q = −1։ Հաշվեք
ա) S₁₀₀-ը
S₁₀₀ = 0
բ) S₁₀₁-ը
S₁₀₁ = 14

4)Հաշվեք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին տասը անդամների գումարը.
ա) -32, 16, -8, 4, ․․․ −1023/48
բ) 32, 16, 8, 4, ․․․1023/16

5){a} երկրաչափական պրոգրեսիայում հաշվեք
ա)S₁₀-ը, եթե q = 2, a₁ = — 1/36
−341/12
բ)S₁₀-ը, եթե q = — 2, a₁ = — 1/36
341/36
գ)S₆-ը, եթե q = 3, a₁ = — 1/27
−364/27
դ) S₆-ը, եթե q = — 3, a₁ = — 2/27
364/27

Ինչպես թվաբանական, այնպես էլ երկրաչափական պրոգրեսիայի համար առաջին n անդամների գումարը նշանակենք Sn-ով․

S_n = a₁ + a₂ + … +  a_n

Պարզվում է, որ տրված երկրաչափական պրոգրեսիայի համար գոյություն ունի Sn
-ը հաշվելու բանաձև։ Դիցուք, տրված է q հայտարարով {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Այդ դեպքում ՝ S_n = a₁(qⁿ − 1)/(q−1), եթե q ≠ 1, S_n = na₁ , եթե q = 1:

Օրինակ․

Հաշվենք S₈ -ը, երբ a₁ = 1, q = 10

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S₇ -ը, եթե a₁ = 1, q = 2
S₇=1*128-1/2-1=127

բ)S₈ -ը, եթե a₁ = -1, q = 3
S₈=-1*6561-1/3-1=-3280

գ)S₄ -ը, եթե a₁ = 8, q = 1/2
S₄=8*0,0625-1/0,5-1=15

դ)S₆ -ը, եթե a₁ = 4, q = -3
S₆=4*-729-1/-3-1= -728

2)Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք S₅ -ը.

ա) a₂ = 4, q = 3
a₂ = a₁q
4 = a₁ * 3
a₁ = 4/3
S₅ = (4/3)(3⁵ — 1) / (3 — 1)
S₅ = (4/3)(243 — 1) / 2
S₅ = (4/3 * 242) / 2
S₅ = 968 / 6
S₅ = 484 / 3

բ) a₃ = 9, a₄ = 27
q = 27 / 9 = 3
a₁ = a₃ / q²
a₁ = 9 / 9
a₁ = 1
S₅ = (3⁵ — 1) / 2
S₅ = 242 / 2
S₅ = 121

գ) a₂ = 8, q = -1/2
a₁ = 8 / (-1/2)
a₁ = -16
(-1/2)⁵ = -1/32
S₅ = -16(-1/32 — 1) / (-3/2)
S₅ = 11

3)Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտե՛ք a₁ — ը, եթե

ա)S₄ = 30, q = 2
30 = a₁(16 — 1)
30 = 15a₁
a₁ = 2

բ)S₆ = -2184, q = 3
-2184 = 364a₁
a₁ = -6

գ)S₇ = 5, q = -1
Քանի որ անդամները հերթագրվում են, իսկ 7-ը կենտ է,
S₇ = a₁
a₁ = 5

դ)S₃ = 91, q = -4
91 = 13a₁
a₁ = 7

4)Տրված է b_n = 3 * 2^{n — 1} երկրաչափական պրոգրեսիան: Հաշվե՛ք.

ա)b₃ + b₄
b₃ = 3 · 2² = 12
b₄ = 3 · 2³ = 24
պատ․՝36

բ)b₅ + b₆
b₅ = 3 · 2⁴ = 48
b₆ = 3 · 2⁵ = 96
պատ․՝144

5){a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 6, q = -1: Հաշվե՛ք.

ա)S₂₀₂₅ — ը
Եթե n-ը կենտ է = Sₙ = 6
S₂₀₂₅ = 6

բ)S₂₀₂₆ — ը
Եթե n-ը զույգ է = Sₙ = 0
S₂₀₂₆ = 0

1)1
2)2
3)3

4)2
5)3
6)2

7)4
8)2
9)4

10)
11)2

1, 2, 4, 8, 16, … հաջորդականության ամեն անդամ, սկսած երկրորդից, իր նախորդից մեծ է 2 անգամ: 1, 10, 100, 1000, … հաջորդականությունում կա նմանատիպ օրինաչափություն. հաջորդ անդամը նախորդից մեծ է 10 անգամ։ Նմանատիպ հաջորդականություններն անվանում են երկրաչափական պրոգրեսիաներ:

Զրոյից տարբեր թվերի հաջորդականությունն անվանում ենք q հայտարարով երկրաչափական պրոգրեսիա, եթե հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ, սկսած երկրորդից, ստացվում է իր նախորդը q-ով բազմապատկելով: q-ն անվանում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար:

1, 2, 4, 8, 16, … և 1, 10, 100, 1000,… հաջորդականությունները համապատասխանաբար q = 2 և q = 10 հայտարարներով երկրաչափական պրոգրեսիաներ են: q հայտարարով {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայի համար տեղի ունի
a_{n + 1} = a_n * q

Օրինակ 1.
{a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₃ = 6 q = 1/3, հաշվենք a₄ — ը:
a₄ = a₃ * q = 6 * 1/3 = 2

Օրինակ 2.
{a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 8 և q = 1.5, հաշվենք a₄ — ը:
a₂ = a₁* q = 8 * 1.5 = 12
a₃ = a₂* q = 12 * 1.5 = 18
a₄ = a₃ *q = 18 * 1.5 = 27

Օրինակ 2-ում կարող ենք a₄-ն արտահայտել a₁-ով ու q-ով՝ առանց հաշվելու a₂
-ի և a₃-ի արժեքները.

$$a_4=a_3\ast q=(a_2\ast q)\ast q=a_2\ast q^2=(a_1\ast q)\ast q^2=a_1\ast q^3$$

Ստացված a₄ = a₁* q³ բանաձևը կարող ենք ընդհանրացնել երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած համար: a_n-ը ստանալու համար պետք է a₁ — ը (n-1) անգամ բազմապատկել q-ով.

a_n = a₁ * q * q * . . . * q = a₁ * q^n-1

Դրական անդամներից կազմված երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ (բացառությամբ առաջինի) հավասար է իր երկու հարևանների միջին երկրաչափականին (n ≥ 2):

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է 1, 3, 9, 27, … երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտեք նրա հայտարարը և հինգերորդ, վեցերորդ ու յոթերորդ անդամները: 81, 243, 729

2)Հաջորդականությունն արդյոք երկրաչափական պրոգրեսիա՞ է.
ա) 1, 8, 15, 21, 26, …;ոչ
բ) 4, 2, 1, 0,5, 0,25, …;այո
գ) -2, 2, -2, 2, -2, …;այո
դ) 0, 4, 16, 64, 256, …:ոչ

3)Գտեք a_n երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները, եթե a₁ = 2, q = 0,25 :
a₁ = 2
a₂ = a₁ · q = 2 · 0,25 = 0,5
a₃ = a₂ · q = 0,5 · 0,25 = 0,125
a₄ = a₃ · q = 0,125 · 0,25 = 0,03125

4)Տրված է a_n երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվեք. a_n = a₁ * q^n-1
ա)a₃ — ը, եթե a₁= 0,5, q = — 2;
0,5⋅(−2)2=0,5⋅4=2
բ)a₄ — ը, եթե a₁ = -2, q = 3;
a₄ = a₃ *q =-2⋅3³=−2⋅27=-54
գ) a₃ — ը և q — ն, եթե a₁ = 3, a₂ = 4;
q=a₂/​a_1​​=4/3
a₃​=a₂​⋅q=4⋅4/3​=16/3​
դ) a₃ — ը և q — ն, եթե a₁ = — 4, a₂ = 6
q=a₂/​a_1​​=−6/4​=−3/2​
a3​=a₂​⋅q=6⋅(−3/2​)=−9

5)Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք իրար հաջորդող անդամներ.
ա) 7, x, 63։ Գտեք x — ը, եթե x > 0 :
21
բ) 2, x, 18։ Գտեք x — ը, եթե x < 0 :
-6
գ) 3,2; x; 0,2։ Գտեք x — ը ։/
0.8

1)Արտահայտությունն արտահայտե´ք a₁-ով ու d-ով.
ա) a₅ + a₁₀
a1+4d+a1+9d=2a1+13d

բ) a₃ + 2a₇
a1+2d+2a1+12d=3a1+14d

գ) a₇ + a₈ — 2a₆
a1+6d+a1+7d-2a1-10d=3d

դ) a₁₅ + a₁₇ — 2a₁₆
a1+14d+a1+16d-2a1-30d=0

2){a_n} թվաբանական պրոգրեսիայում գտեք
ա) a₂ և d-ն, եթե a₁ = 5, a₃ = 13 ;
9,4

բ) a₁ և d-ն, եթե a₂ = 3 , a₁₀ = 19 ;
1,2

գ) a₂ և d-ն, եթե a₁₂ = — 2 , a₃ = 7 ;
-1

դ) a₁₀₁ և d-ն, եթե a₁₂ = 20,5 ; a₇ = 10, 5 :
2

3)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվեք․
ա) S₂₀ — ը, եթե a₁ = 1 , a₂₀ = 20 ;\
s20=20*1+20/2=210

բ) S₁₃, եթե a₁ = 17, a₁₃ = 13 ;
s13=13*17+13/2=195

գ) S₃₀, եթե a₁ = — 10 a₃₀ = 20 ;
s30=30*-10+20/2=150

դ) S₁₇, եթե a₁ = 11, a₁₇ = 19 :
s17=17*11+19/2=255