Category: Հանրահաշիվ 9

Գոյություն ունեն թվային վիճակագրական տվյալները նկարագրելու մի քանի պարամետր.

ա) Տվյալներից ամենամեծի և ամենափոքրի տարբերությունն անվանում են
լայնք:

բ)Ամենաշատ հանդիպող տվյալն անվանում են մոդ:

գ) Բոլոր տվյալների գումարի և քանակի հարաբերությունն անվանում են միջին թվաբանական:

Այժմ ծանոթանանք ևս մեկ վիճակագրական պարամետրի: Տվյալները դասավորենք աճման կարգով և դիտարկենք մեջտեղում գրված թիվը: Հնարավոր է երկու դեպք.
ԴԵՊՔ 1. Տվյալների քանակը կենտ է: Այդ դեպքում մեջտեղի դիրք կա: Մեջտեղում գրված թիվը կոչվում է այդ տվյալների մեդիան (միջնարժեք): 1, 1, 2, 5, 9, 9, 12 տվյալների մեդիանը 5-ն է:
ԴԵՊՔ 2. Տվյալների քանակը զույգ է։ Այդ դեպքում մեջտեղի դիրք չկա: Դիտարկենք մեջտեղին ամենամոտ երկու թվերը: Այդ թվերի միջին թվաբանականն այդ տվյալների մեդիանն է (միջնարժեքը)։ -4, 8, 14, 15, 15, 19 տվյալների մեդիանը (14 + 15)/2 = 14.5 :

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք թվային տվյալների լայնքը, մոդն (եթե ունի) ու մեդիանը.
ա) 2, 2, 2, 5, 5, 8, 10
լայնք=10-2=8
մոդը=2
մեդիա=5
բ) -5, 4, 2, 6, 6, 8, 8, 8
լայնք=8+5=13
մոդը=8
մեդիա=6
գ)-105, 12, 12, 250, 233, 205, 12
-05,12,12,12,205,233,250
լայնք=250+105=355
մոդը=12
մեդիա=12
դ) -20, -120, 0, 15, 7, 7, 120, 500
-120,-20,0,7,7,15,120,500
լայնք=500+120=620
մոդը=7
մեդիա=7

2)Հաշվե՛ք թվային տվյալների միջին թվաբանականն ու մեդիանը.
ա) 1, 3, 3, 5, 7
միջին թվաբանական = 3,8
մեդիա=3
բ) 5, 2, 1, -2, 7, -4
-4,-2,1,2,5,7
միջին թվաբանական = 9
մեդիա = 3/6
գ) 4,5,7,5,-8, 45
-8,4,5,5,7,45
միջին թվաբանական = 58
մեդիա = 5
դ) 2, 2, 8, 8, 8, 250, -120
-120,2, 2, 8, 8, 8, 250
միջին թվաբանական = 158/7
մեդիա =8
ե) 1, 1, 1, 1, 5, 5, -6, -10
-10,-6,1, 1, 1, 1, 5, 5
միջին թվաբանական = -2/8
մեդիա =1

3)Գտե՛ք թվային տվյալների միջինը, մոդը, մեդիանը և լայնքը.
ա) 0, 0, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10
Միջին = (0+0+5+5+10+10+10+10+10)/9 = 60/9 ≈ 6.67
Մոդ = 10 (հաճախ հանդիպող թիվը)
Մեդիան = 10 (կենտրոնական թիվը)
Լայնություն = 10 − 0 = 10
բ) 1, 1, 2, 2, 2, 19, 20, 21
Միջին = (1+1+2+2+2+19+20+21)/8 = 68/8 = 8.5
Մոդ = 2
Մեդիան = (2+2)/2 = 2
Լայնություն = 21 − 1 = 20
գ)-6, 6, 0, -3, 3
-6,-3,0,3,6
Միջին = (−6−3+0+3+6)/5 = 0
Մոդ = չկա (բոլոր թվերը մեկ անգամ են հանդիպում)
Մեդիան = 0 (կենտրոնական թիվը)
Լայնություն = 6 − (−6) = 12
դ) –10, 0, 0, 12, 13, 12, 12
–10, 0, 0, 12, 12, 12, 13
Միջին = (−10+0+0+12+12+12+13)/7 = 39/7 ≈ 5.57
Մոդ = 12
Մեդիան = 12
Լայնություն = 13 − (−10) = 23

4)Գտե՛ք a-ի թվային արժեքը, եթե հայտնի է, որ a, 1, 1, 2, 2, 4 բնական թվերի՝
ա) մոդը 2 է
2
բ) մեդիանը 1.5 է
0
գ) լայնքը 4 է
5
դ) միջինը 3
8
ե) մեդիանը մեծ է մոդից
3

1)Գտեք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին հինգ անդամների գումարը, եթե
ա)a₁ = 5, q = 2
155
բ)a₁ = 4, q = — 3
244
գ)a₁ = — 2, q = 1/2
31/8
դ)a₁ = — 1/3, q = — 2
−11/3

2){a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայի համար գտեք S₆-ը, եթե a₁ = 48, q = 1/2:
94.5

3){a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 14, q = −1։ Հաշվեք
ա) S₁₀₀-ը
S₁₀₀ = 0
բ) S₁₀₁-ը
S₁₀₁ = 14

4)Հաշվեք երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին տասը անդամների գումարը.
ա) -32, 16, -8, 4, ․․․ −1023/48
բ) 32, 16, 8, 4, ․․․1023/16

5){a} երկրաչափական պրոգրեսիայում հաշվեք
ա)S₁₀-ը, եթե q = 2, a₁ = — 1/36
−341/12
բ)S₁₀-ը, եթե q = — 2, a₁ = — 1/36
341/36
գ)S₆-ը, եթե q = 3, a₁ = — 1/27
−364/27
դ) S₆-ը, եթե q = — 3, a₁ = — 2/27
364/27

Ինչպես թվաբանական, այնպես էլ երկրաչափական պրոգրեսիայի համար առաջին n անդամների գումարը նշանակենք Sn-ով․

S_n = a₁ + a₂ + … +  a_n

Պարզվում է, որ տրված երկրաչափական պրոգրեսիայի համար գոյություն ունի Sn
-ը հաշվելու բանաձև։ Դիցուք, տրված է q հայտարարով {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Այդ դեպքում ՝ S_n = a₁(qⁿ − 1)/(q−1), եթե q ≠ 1, S_n = na₁ , եթե q = 1:

Օրինակ․

Հաշվենք S₈ -ը, երբ a₁ = 1, q = 10

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S₇ -ը, եթե a₁ = 1, q = 2
S₇=1*128-1/2-1=127

բ)S₈ -ը, եթե a₁ = -1, q = 3
S₈=-1*6561-1/3-1=-3280

գ)S₄ -ը, եթե a₁ = 8, q = 1/2
S₄=8*0,0625-1/0,5-1=15

դ)S₆ -ը, եթե a₁ = 4, q = -3
S₆=4*-729-1/-3-1= -728

2)Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք S₅ -ը.

ա) a₂ = 4, q = 3
a₂ = a₁q
4 = a₁ * 3
a₁ = 4/3
S₅ = (4/3)(3⁵ — 1) / (3 — 1)
S₅ = (4/3)(243 — 1) / 2
S₅ = (4/3 * 242) / 2
S₅ = 968 / 6
S₅ = 484 / 3

բ) a₃ = 9, a₄ = 27
q = 27 / 9 = 3
a₁ = a₃ / q²
a₁ = 9 / 9
a₁ = 1
S₅ = (3⁵ — 1) / 2
S₅ = 242 / 2
S₅ = 121

գ) a₂ = 8, q = -1/2
a₁ = 8 / (-1/2)
a₁ = -16
(-1/2)⁵ = -1/32
S₅ = -16(-1/32 — 1) / (-3/2)
S₅ = 11

3)Տրված է {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտե՛ք a₁ — ը, եթե

ա)S₄ = 30, q = 2
30 = a₁(16 — 1)
30 = 15a₁
a₁ = 2

բ)S₆ = -2184, q = 3
-2184 = 364a₁
a₁ = -6

գ)S₇ = 5, q = -1
Քանի որ անդամները հերթագրվում են, իսկ 7-ը կենտ է,
S₇ = a₁
a₁ = 5

դ)S₃ = 91, q = -4
91 = 13a₁
a₁ = 7

4)Տրված է b_n = 3 * 2^{n — 1} երկրաչափական պրոգրեսիան: Հաշվե՛ք.

ա)b₃ + b₄
b₃ = 3 · 2² = 12
b₄ = 3 · 2³ = 24
պատ․՝36

բ)b₅ + b₆
b₅ = 3 · 2⁴ = 48
b₆ = 3 · 2⁵ = 96
պատ․՝144

5){a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 6, q = -1: Հաշվե՛ք.

ա)S₂₀₂₅ — ը
Եթե n-ը կենտ է = Sₙ = 6
S₂₀₂₅ = 6

բ)S₂₀₂₆ — ը
Եթե n-ը զույգ է = Sₙ = 0
S₂₀₂₆ = 0

1)1
2)2
3)3

4)2
5)3
6)2

7)4
8)2
9)4

10)
11)2

1, 2, 4, 8, 16, … հաջորդականության ամեն անդամ, սկսած երկրորդից, իր նախորդից մեծ է 2 անգամ: 1, 10, 100, 1000, … հաջորդականությունում կա նմանատիպ օրինաչափություն. հաջորդ անդամը նախորդից մեծ է 10 անգամ։ Նմանատիպ հաջորդականություններն անվանում են երկրաչափական պրոգրեսիաներ:

Զրոյից տարբեր թվերի հաջորդականությունն անվանում ենք q հայտարարով երկրաչափական պրոգրեսիա, եթե հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ, սկսած երկրորդից, ստացվում է իր նախորդը q-ով բազմապատկելով: q-ն անվանում ենք երկրաչափական պրոգրեսիայի հայտարար:

1, 2, 4, 8, 16, … և 1, 10, 100, 1000,… հաջորդականությունները համապատասխանաբար q = 2 և q = 10 հայտարարներով երկրաչափական պրոգրեսիաներ են: q հայտարարով {a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայի համար տեղի ունի
a_{n + 1} = a_n * q

Օրինակ 1.
{a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₃ = 6 q = 1/3, հաշվենք a₄ — ը:
a₄ = a₃ * q = 6 * 1/3 = 2

Օրինակ 2.
{a_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁ = 8 և q = 1.5, հաշվենք a₄ — ը:
a₂ = a₁* q = 8 * 1.5 = 12
a₃ = a₂* q = 12 * 1.5 = 18
a₄ = a₃ *q = 18 * 1.5 = 27

Օրինակ 2-ում կարող ենք a₄-ն արտահայտել a₁-ով ու q-ով՝ առանց հաշվելու a₂
-ի և a₃-ի արժեքները.

$$a_4=a_3\ast q=(a_2\ast q)\ast q=a_2\ast q^2=(a_1\ast q)\ast q^2=a_1\ast q^3$$

Ստացված a₄ = a₁* q³ բանաձևը կարող ենք ընդհանրացնել երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած համար: a_n-ը ստանալու համար պետք է a₁ — ը (n-1) անգամ բազմապատկել q-ով.

a_n = a₁ * q * q * . . . * q = a₁ * q^n-1

Դրական անդամներից կազմված երկրաչափական պրոգրեսիայի ցանկացած անդամ (բացառությամբ առաջինի) հավասար է իր երկու հարևանների միջին երկրաչափականին (n ≥ 2):

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է 1, 3, 9, 27, … երկրաչափական պրոգրեսիան։ Գտեք նրա հայտարարը և հինգերորդ, վեցերորդ ու յոթերորդ անդամները: 81, 243, 729

2)Հաջորդականությունն արդյոք երկրաչափական պրոգրեսիա՞ է.
ա) 1, 8, 15, 21, 26, …;ոչ
բ) 4, 2, 1, 0,5, 0,25, …;այո
գ) -2, 2, -2, 2, -2, …;այո
դ) 0, 4, 16, 64, 256, …:ոչ

3)Գտեք a_n երկրաչափական պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները, եթե a₁ = 2, q = 0,25 :
a₁ = 2
a₂ = a₁ · q = 2 · 0,25 = 0,5
a₃ = a₂ · q = 0,5 · 0,25 = 0,125
a₄ = a₃ · q = 0,125 · 0,25 = 0,03125

4)Տրված է a_n երկրաչափական պրոգրեսիան։ Հաշվեք. a_n = a₁ * q^n-1
ա)a₃ — ը, եթե a₁= 0,5, q = — 2;
0,5⋅(−2)2=0,5⋅4=2
բ)a₄ — ը, եթե a₁ = -2, q = 3;
a₄ = a₃ *q =-2⋅3³=−2⋅27=-54
գ) a₃ — ը և q — ն, եթե a₁ = 3, a₂ = 4;
q=a₂/​a_1​​=4/3
a₃​=a₂​⋅q=4⋅4/3​=16/3​
դ) a₃ — ը և q — ն, եթե a₁ = — 4, a₂ = 6
q=a₂/​a_1​​=−6/4​=−3/2​
a3​=a₂​⋅q=6⋅(−3/2​)=−9

5)Տրված են երկրաչափական պրոգրեսիայի երեք իրար հաջորդող անդամներ.
ա) 7, x, 63։ Գտեք x — ը, եթե x > 0 :
21
բ) 2, x, 18։ Գտեք x — ը, եթե x < 0 :
-6
գ) 3,2; x; 0,2։ Գտեք x — ը ։/
0.8

1)Արտահայտությունն արտահայտե´ք a₁-ով ու d-ով.
ա) a₅ + a₁₀
a1+4d+a1+9d=2a1+13d

բ) a₃ + 2a₇
a1+2d+2a1+12d=3a1+14d

գ) a₇ + a₈ — 2a₆
a1+6d+a1+7d-2a1-10d=3d

դ) a₁₅ + a₁₇ — 2a₁₆
a1+14d+a1+16d-2a1-30d=0

2){a_n} թվաբանական պրոգրեսիայում գտեք
ա) a₂ և d-ն, եթե a₁ = 5, a₃ = 13 ;
9,4

բ) a₁ և d-ն, եթե a₂ = 3 , a₁₀ = 19 ;
1,2

գ) a₂ և d-ն, եթե a₁₂ = — 2 , a₃ = 7 ;
-1

դ) a₁₀₁ և d-ն, եթե a₁₂ = 20,5 ; a₇ = 10, 5 :
2

3)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվեք․
ա) S₂₀ — ը, եթե a₁ = 1 , a₂₀ = 20 ;\
s20=20*1+20/2=210

բ) S₁₃, եթե a₁ = 17, a₁₃ = 13 ;
s13=13*17+13/2=195

գ) S₃₀, եթե a₁ = — 10 a₃₀ = 20 ;
s30=30*-10+20/2=150

դ) S₁₇, եթե a₁ = 11, a₁₇ = 19 :
s17=17*11+19/2=255

1)Գտե՛ք տրված թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը.

ա) 9, 11, 13, d=2,
բ) 1, 0, -1, d=-1.
գ) 3, 7, 11, d=4,
դ) 4, 1, -2, d=-2,
ե) 1, 1.5, 2, d=0.5,
զ) 7.5, 6.2, 4.9, d=1.3,

2)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներից ինչ-որ մեկը և d տարբերությունը: Գտե՛ք պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները.

ա)a₁ = 2 d = 5

2,7,12,17
բ)a₁ = 9 d = — 3

9, 6, 3, 0
գ)a₂ = — 2 d = 1.5

-3.5, -2, -0.5, 1

դ)a₃ = — 7 d = — 3.5

-14.5, -10.5, -7, -3.5

3)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S₁₂ — ը, եթե a₁ = 5, a₁₂ = 35

S12=(5+35)/2*12=240
բ)S₉ — ը, եթե a₁ = 4, a₉ = 28

S9=(4+28)/2*9=144
գ)S₁₇ — ը, եթե a₁ = 4, a₁₇ = 45

S17=(4+45)/2*17=416.5
դ)S₅ — ը, եթե a₁ = 2, a₅ = -8

S5=(2-8)/2*5=-15

4)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S₁₀ — ը, եթե a₁ = 3, d = 4

S10=6+4(10-1)/2*10=210
բ)S₈ — ը, եթե a₁ = 7, d = 1

S8=14+1(8-1)/2*8=84
գ)S₁₃ — ը, եթե a₁ = 4, d = -1

S13=8-1(13-1)/2*13=-26
դ)S₅ — ը, եթե a₁ = -4, d = 2

S5=-8+2(5-1)/2*5=0

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք օրինաչափությունը և հաջորդականության հաջորդ անդամը.
ա) 1, 11, 111, 1111, 11111,
բ) 1,-2, 3, 4, 5, -6, 7,
գ) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
դ) 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2,
ե) 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12,
զ) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4:

2)Գրե՛ք բանաձևով տրված հաջորդականության առաջին 5 անդամը.
ա)a_n = 2n + 1

3, 5, 7, 9, 11
բ)a_n = 7(n — 2)

-7, 0, 7, 14, 21
գ)a_n = — 4n + 2

-2, -6, -10, -14, -18
դ)a_n = 1.5n + 2

3.5, 5, 6.5, 8, 9.5
ե)a_n = 3ⁿ

3, 9, 27, 81, 243
զ)a_n = 6 * 2^{n — 1}

0, 12, 36, 84, 180
3)Հաշվե՛ք n-րդ անդամի բանաձևով տրված հաջորդականության երրորդ և չորրորդ անդամները.
ա) a_n = (n — 3)⁵

0, 1
բ) b_n = (n + 1)^{n — 4}

0.25, 1
գ) e_n = (- 1)ⁿ * n
-3, -4

4)Տրված է հաջորդականության n-րդ անդամի բանաձևը.
ա) a_n = 3n — 1 Գտեք a₁, a₂, a₅ , a₁₀₀ -ը։

2, 5, 14, 299
բ)a_n = 3 + 2(n — 1) Գտեք a₁, a₂, a₁₂ , a₃₀ -ը։

3, 5, 25, 61

5)Գտեք ընդհանուր անդամի բանաձևով տրված հաջորդականության առաջին վեց անդամների գումարը.
ա) a_n = 3n + 2

75
բ) a_n = (- 1)ⁿ * n

3

1)

V2, +-1

+-1, +-3

+-2, +-1

+-5, +-1

+-4, +-2

Լուծում չունի

2)

+-V2

+-4

+-4

+-5

≈V2.4

≈V4/3

≈V3,5

≈V1.5

3)Գտեք 7 հայտարարով այն ամենափոքր կոտորակը, որ մեծ է 1/3-ից, բայց փոքր է 2/3-ից։

3\7

4)Գտեք 100 — 1/9 թվից 9 անգամ մեծ թիվը։

899

5)[1;2] միջակայքում 9 հայտարարով քանի՞ անկրճատելի կոտորակ կա։

9\9, 18\9,

10\9, 11\9, 13\9, 14\9, 16\9, 17\9

1)Փոփոխականի փոխարինմամբ ստացե՛ք քառակուսային հավասարում.
ա) (x + 2)² + 5(x + 2) — 3 = 0
բ) (x — 4)² — 3(x — 4) + 1 = 0
գ) 2(x — 3)² — (x — 3) + 5 = 0
դ) 2(x + 7)² — 4(x + 7) — 1 = 0

a2+5a-3=0

a2-3a+1=0

2a2-a+5=0

2a2-4a-1=0

2)Փոփոխականի փոխարինմամբ լուծե՛ք հավասարումը.
ա) (x — 4)² + 6(x — 4) + 5 = 0

y2+6y+5=0

y=-1 y=-5

xϵ{-1;3}
բ) (x + 1)² — 7(x + 1) — 18 = 0

y2-7y-18=0

y=9 y=-2

xϵ{-3;8}
գ) (x — 1)² + 8(x — 1) + 12 = 0

y2+8y+12=0

y=-2 y=-6

xϵ{-5;-1}
դ) (4z + 3)² — (4z + 3) — 2 = 0

y2-y-2=0

y=2 y=-1

zϵ{-1;-1/4}

3)Փոփոխականի փոխարինմամբ ստացե՛ք քառակուսային հավասարում.
ա) a⁴ + 5a² — 7 = 0

y2+5y-7=0
բ) 4x⁴ + 9x² — 1 = 0

4y2+9y-1=0
գ) 5x⁴ + 9x²— 12 = 0

5y2+9y-12=0
դ) -2b⁴ + 7b² + 1 = 0

-2y2+7y+1=0